Nizamlı ədədlər cütlüyü və onlar üzərində əməllər




Yüklə 108.26 Kb.
tarix28.02.2016
ölçüsü108.26 Kb.
Nizamlı ədədlər cütlüyü və onlar üzərində əməllər
Həqiqi ab ədədlərinin hansının birinci hansının ikinci olduğunu göstərən (a, b) cütlüyü nizamlanmış adlanır. Məsələn, (0,1), (2,3), (3,2). Qeyd edək ki, eyni rəqəmlərdən təşkil olunmalarına baxmayaraq axırıncı iki cütlük müxtəlifdirlər.

Hər bir cütlüyü bir hərflə işarə edərək onların bərabərliyi anlayışını, onlar üzərində əməlləri verək. İki nizamlı cütə baxaq.



(1)

Əgər a = cb = d olarsa bu cütlər bərabər adlanır.



(2)

(1)-dəki nizamlı cütlərin cəmi



(3)

hasili isə (4) (3)-dən aydındır ki, (5) istənilən cütlə cəmi əvvəlki cütə bərabərdir.



(5) sıfır cütlük adlanır və nizamlı cütlər üçün sıfır rolu oynayır.



fərqi elə nizamlı cütünə deyilir ki, olsun.

(6)

Əgər isə və isə nisbəti (7) formulu ilə təyin olunur. Bu formuldan aydındır ki, əgər isə yəni isə, onda



Deməli vahid rolunu (8) nizamlı cütü oynayı+r.



a = (a, 0) və b = (b, 0) (9) nizamlı cütlərinə baxaq. (9) şəkilli nizamlı cütlər üzərində hesab əməlləri həqiqi ədədlər üzərində olduğu kimi aparılır. Həqiqi ədədlər (9) cütləri şəklində verilir.
Kompleks ədəd anlayışı. Kompleks ədədin cəbri forması
ab həqiqi ədədlərindən təşkil olunmuş nizamlı (a, b) cütlüyü kompleks ədəd adlanır. i = (0, 1) (10) nizamlı cütünə baxaq.

(4)-ü tətbiq etsək alarıq,





olduğu üçün (11) (11)-i ödəyən (10) nizamlı cütlüyü xəyali vahid adlanır. Xəyali vahidin köməyilə istənilən kompleks ədədi, yəni nizamlı həqiqi ədədlər cütlərini göstərmək olar.

, onda yəni

(12)

.

Deməli, (12)-də toplananları yerini dəyişmək olar. – kompleks ədədin cəbri forması adlanır. ahəqiqi hissə, b – xəyali hissə, .

Əgər b = 0 olarsa – həqiqi ədəd a = 0, , bi – təmiz xəyali ədəd adlanır. kompleks ədədləri yalnız a = c, b = d olduqda bərabər hesab edilir.



isə -nın qoşması adlanır və -lə işarə olunur. . i simvolunu 1777-ci ildə Eyler daxil etmişdir.
Kompleks ədədlər üzərində əməllər


1) 2) , 3) ,

4) , 5) .

1. Kompleks ədədlər. Onlar üzərində əməllər. Kompleks ədədin triqonometrik forması. Muavr düsturu. Eyler düsturu.

Kompleks ədədlərə, tənliyinə baxmaqla başlayaq. Aydındır ki, bu tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Bu tənliyin kökü kompleks ədəddir.



(1) ifadəsi kompleks ədəd adlanır. Burada x, yhəqiqi ədədlər, i – xəyali vahid adlanır və bərabərliyi ilə təyin olunur.

x, y həqiqi ədədləri z kompleks ədədinin uyğun olaraq həqiqi və xəyali hissələri adlanır və (Re – realis həqiqi. Im – imaginaris – xəyal).

həqiqi ədədləri göstərir, yəni hər bir həqiqi ədədə xəyali hissəsi sıfır olan kompleks ədəd kimi baxmaq olar. şəklində kompleks ədədə sırf xəyali ədəd deyilir.

z ədədinin qoşması kompleks ədədinə deyilir. olduğu üçün z ədədləri qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər adlanır.

1) kompleks ədədi yalnız və yalnız, olduqda bərabər hesab edilir.

2) yalnız və yalnız o vaxt olur ki, olsun.

Hər bir kompleks ədədini Oxy müstəvisində koordinatları a, b olan nöqtəsi kimi göstərmək olar. Tərsinə, müstəvidə hər bir nöqtəsinə kompleks ədədi uyğundur. Kompleks ədədlər təsvir edilmiş müstəvi z dəyişəni kompleks müstəvi adlanır.

Kompleks müstəvi üzərində absis oxuna həqiqi ox, ordinat oxuna isə xəyali ox deyilir.



Ox oxu üzərində yerləşən nöqtə (b = 0) həqiqi ədəd oy oxu üzərindəki nöqtə isə sırf xəyali ədədi göstərir. A(a, b) nöqtəsini koordiqnat başlanğıcı ilə birləşdirsək vektorunu alırıq. Həndəsi olaraq kompleks ədədini vektoru ilə göstərmək olar.

Koordinat başlanğıcını polyus, ox-in müsbət istiqamətini polyar ox qəbul edərək, A(a, b) nöqtəsinin polyar koordinatlarını  və ilə işarə edək, Onda aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik. , nəticədə



(2) və ya

(3) alarıq. (3) kompleks ədədin triqonometrik şəkli adlanır. r – ; z – kompleks ədədinin modulu,  – arqumenti adlanır və belə işarə edilir.

(4)

r və , ab ilə , beləliklə



(5)

(3)-də götürülür.  kəmiyyəti isə ( tam ədəddir) həddinə qədər dəqiqliklə təyin olunur. kəmiyyəti çoxqiymətlidir. Buna görə də çox vaxt -in baş qiymətini ayırmaq lazım gəlir. -in (6)-nın müəyyən qiymətini onun baş qiyməti deyilir və ilə işarə olunur. z ədədi müsbət həqiqi ədəd olduqda , mənfi həqiqi ədəd olduqda isə olar.



Qeyd. qoşma kompleks ədədləri üçün , arqumentləri isə . A həqiqi ədədi (3) şəklində yazıla bilər.



olar.

Kompleks 0 ədədin modulu 0-dır. , arqument isə bucağı götürülə bilər.



.
Kompleks ədədlər üzərində əməllər

1. kompleks ədədlərinin cəmi



ilə təyin edilir. Kompleks ədədlərin toplanması üçün yerdəyişmə və quruplaşma xassələri doğrudur.

1. ,

2. .

.
3. Vurulması ikihədliləri vurulma qaydası ilə yerinə yetirin, bu zaman və s. nəzərə almaq lazımdır ki,

.

.

.

Yerdəyişmə, quruplaşdırma və paylama qanunları doğrudur.

Fərz edək ki, .

olar.

Qeyd. qoşma kompleks ədədlərin hasili

və ya olar.

Bölünməsi:



.

Onda


Əgər .

Triqonometrik şəkildə verilibsə, onun

.

Qeyd 2. Kompleks ədədlərin üzərində əməllər nəticəsində kompleks ədəd alınır.

Qüvvətə yüksəltmə və kökalma



.

Muavr formulu adlanır.



.





Eyler düsturu. Kompleks ədədlər üçün Eyler düsturu (1) münasibətinə deyilir. Bu düsturun doğruluğu gələcəkdə sıralar nəzəriyəsində isbat ediləcək.

(1)-dən istifadə edərək (2) münasibətini

(3) kimi yaza bilərik və ya

(4).

(3) ifadəsi z kompleks ədədin üstlü şəkli adlanır.



(5) olar. (1) və (5) 

.

Çoxhədlilər və vuruqlara ayrılması
(1) funksiyası n dərəcəli çoxhədli (polnom) adlanır. n çoxhədlinin dərəcəsidir. – həqiqi və ya kompleks ədədlərdir. x – dəyişəni həm həqiqi və həm də kompleks qiymətlər ala bilər. x dəyişəninin çoxhədlini 0-a çevirən qiymətinə çoxhədlinin kökü deyilir.

Teorem 1. (Bezu). f(x) çoxhədlisini xa fərqinə böldükdə alınan qalıq f(a)-ya bərabərdir.

İsbatı. f(x)-i -ya böldükdə natamam qismət f(x)-in dərəcəsindən bir vahid az olar. Qalıq isə sabit R ədədi olar. Beləliklə

. Bu bərabərlik x-in bütün qiymətlərində ( olduqda) doğrudur.

-ə keçsək

sol tərəf -ya sağ tərəf isə R-ə bərabər olar.

Yəni f(a) = R olar.

Nəticə. Əgər a çoxhədlinin kökü isə yəni isə, onda f(x) -ya qalıqsız bölünür və nəticədə .

çoxhədlisi n dərəcəli olanda, tənliyinə n dərəcəli cəbri tənlik deyilir. Hər bir cəbri tənliyin kökü varmı?

Teorem 2. (Cəbrin əsas teoremi) Hər bir cəbri tənliyin () heç olmasa bir həqiqi və ya kompleks kökü vardır.

Cəbri olmayan tənliklər üçün bu doğru deyildir. Məsələn cəbri olmayan tənliyin heç bir kökü yoxdur.



Teorem 3. Hər bir n dərəcəli çoxhədlisi n sayda xa şəkilli xətti vuruğun və -in əmsalının hasili şəklində, yəni

şəklində göstərilə bilər.

İsbatı. Fərz edək ki, n – dərəcəli çoxhədli verilib.

Bu çoxhədlinin cəbrin əsas teoreminə görə heç olmasa bir kökü var. Onu -lə işarə edək. Onda Bezu teoreminə görə



. Burada

dərəcəli çoxlhədlidir. yenə cəbrin əsas teoreminə görə kökü var. Onu -i ilə işarə edək





, dərəcəli çoxluqdur. Analoji olaraq proses davam etdirsək alarıq. – sıfır dərəcəli çoxhədlidir. Bu ədəd aydındır ki, əmsalı yəni -a bərabərdir. Nəticədə

(*) yaza bilərik.

(*)  n – dərəcəli çoxlhədlini n-dən çox müxtəlif kökü ola bilməz.



Teorem 4. Əgər n – dərəcəli çoxhədlilərinin qiymətləri arqumentin sayda müxtəlif qiymətlərində üst-üstə düşürsə, onda həmin çoxluqlar eyniliklə bərabərdirlər. .

Teorem 5. Əgər çoxhədlisi eyniliklə sıfır isə, onda onun bütün əmsalları sıfra bərabərdir.

Teorem 6. Əgər iki çoxhədli eyniliklə bir-birinə bərabər isə, onda bir çoxhədlinin əmsalları o biri çoxhədlinin uyğun əmsallarına bərabərdir.

Ümumiləşmiş Viyet teoremi


=

Bu bərabərliyin sol və sağ tərəfində olan x-in eyni qüvvətlərinin əmsallarını bərabər etsək:






. . . . . . . . . . . . . . . . . .





n – dərəcəli çoxhədlinin kökləri ilə əmsalları arasında əlaqə yaradan bu düsturlara Viyet düsturları deyilir.

Çoxhədlinin təkrarlanan köklər haqqında



n – dərəcəli f(x) çoxhədlisinin ayrılışında bəzi xətti vuruqlar bir-birinə bərabər olarsa onda həmin ayrılışı

şəklində yazmaq olar. Bu halda a1 – ədədi çoxhədlinin k1 dəfə, a2 – ədədi k2 dəfə təkrarlanan kökü olacaq. Bunu nəzərə alsaq



olar.

Yəni n dərəcəli hər bir çoxhədlinin düz n sayda həqiqi və ya kompleks kökü vardır.



Həqiqi əmsallı çoxhədlinin həqiqi vuruqlara ayrılması


Fərz edək ki, n – dərəcəli çoxhədlisinin A0, A1,...An əmsallarının hamısı həqiqidir.

Teorem 1. Əgər kompleks ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlisinin köküdürsə, onda həmin ədədin qoşması da onun kökü olar.

Teorem 2. Həqiqi əmsallı hər bir çoxhədlisi bir və ikidərəcəli həqiqi əmsallı vuruqların hasili şəklində, yəni



şəklində göstərilə bilər.



Bu zaman .





Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə