Natural џDЏDLЏR. natural џDЏDLЏr ьzџrindџ hesab џMЏLLЏRI




Yüklə 0.56 Mb.
tarix10.04.2016
ölçüsü0.56 Mb.


NATURAL ЏDЏDLЏR. NATURAL ЏDЏDLЏR ЬZЏRINDЏ HESAB ЏMЏLLЏRI

 Зoxluq anlayışı kimi natural YdYd dY riyaziyyatın Ysas anlayşlarından biridir. Natural YdYdlYr ? Yşyaları sayarkYn istifadY etdiyimiz YdYdlYrY natural YdYdlYr deyilir . Natural YdYdlYri bir-biri ilY mьqayisY etmYklY onlardan hansının bцyьk, hansının kiзik olduğunu asanlıqla mьYyyYn etmYk olar. Bundan istifadY edYrYk natural YdYdlYri artan sıra ilY dьzsYk 1,2,3,4,..,n,? natural sırasını almış olarıq. Natural sırada hYr bir natural YdYdin цz yeri vardır.

Natural YdYdlYr ьzYrindY toplama, зıxma, vurma, bцlmY, qьvvYtY yьksYltmY vY kцkalma YmYllYrini yerinY yetirmYk olar.

TYrif. Sonlu sayda natural YdYdlYrdYki vahidlYrin birgY sayını tapmaq YmYlinY toplama deyilir.

MYsYlYn, 2+4+9+10=25.

Burada natural YdYdlYr toplananlar, toplama nYticYsindY alınan YdYd isY cYm adlanır.

Qeyd etdiyimiz misalda 2, 4, 9, 10 YdYdlYri toplananlar, 25 isY cYmdir.



Toplama YmYlinin aşağıdakı iki xassYsi vardır:

 1 xassY. Toplananların yerini dYyişdikdY cYm dYyişmir:

m+n=n+m (toplamanın yerdYyişmY qanunu).

2 xassY. Yan-yana duran bir neзY toplananı onların cYmi ilY YvYz etdikdY cYm dYyişmir:

m+n+p=(m+n)+p=m+(n+p) (toplamanın qruplaşdırma qanunu)

 TYrif. Verilmiş cYm vY bir toplanana gцrY o biri toplananı tapmaq YmYlinY зıxma deyilir.

 MYsYlYn, 37-12=25.

 O YdYddYn ki, зıxırlar, o azalan, o YdYdi ki, зıxırlar, o зıxılan, bu YmYlin nYticYsindY alınmış YdYd isY fYrq adlanır. GцstYrilmiş misalda 37 azalan, 12 зıxılan, 25 isY fYrqdir.

 Зıxma YmYlinin aşağıdakı xassYlYri vardır:

 1 xassY. Bir YdYddYn bir neзY YdYdin cYmini зıxmaq ьзьn YvvYl birinci toplananı зıxmaq, sonra isY alınmış fYrqdYn ikinci toplananı зıxmaq vY s. lazımdır:

m-(n+p)=(m-n)-p.



2 xassY. Bir neзY YdYdin cYmindYn bir YdYdi зıxmaq ьзьn bu YdYdi toplananların birindYn зıxmaq lazımdır:

(m+n)-p=(m-p)+n=(n-p)+m

 Yadda saxlamaq lazımdır ki, iki natural YdYdin fYrqi hYmişY natural YdYd olmur.

 MYsYlYn, 2-5, 17-30 fYrqlYri natural YdYd deyildir.

 TYrif. BYrabYr toplananların cYmini tapmaq YmYlinY vurma deyilir.

 MYsYlYn, 8+8+8+8+8=5*8=40.

 Vurulan YdYdlYrY vuruqlar, YmYlin nYticYsi isY hasil adlanır. GцstYrdiyimiz misalda 8 vurulan, 5 vuran, 40 isY hasildir.

 Vurma YmYlinin aşağıdakı xassYlYri vardır.

 1 xassY. Vuruqların yerini dYyişdikdY hasil dYyişmir:

m ? n = n ? m

(vurmanın yerdYyişmY qanunu)

2 xassY. Yan-yana duran bir neзY vuruğu onların hYsili ilY YvYz etdikdY hasil dYyişmir:

m ? n ? p = (m ? n)p = m?(n ? p) (vurmanın qruplaşdırma qanunu)

 3 xassY. CYmi bir YdYdY vurmaq ьзьn toplananların hYr birini hYmin YdYdY vurub, alınan hasillYri toplamaq, fYrqi bir YdYdY vurmaq ьзьn isY azalan vY зıxılanı ayrı-ayrılıqda bu YdYdY vurub, birinci hasildYn ikinci hasili зıxmaq lazımdır:

  (m+n) p=m ? p + n ? p

(m-n) p=m ? p - n ? p (paylama qanunu).

 TYrif. İki vuruğun hasili vY vuruqlardan biri verildikdY ikinci vuruğu tapmaq YmYlinY bцlmY deyilir.

MYsYlYn, 342:9=38.

 O YdYdi ki bцlьrlYr, o bцlьnYn, o YdYdY ki bцlьrlYr, o bцlYn, YmYlin nYticYsi isY qismYt adlanır.

NьmunY ьзьn gцstYrdiyimiz misalda 342 bцlьnYn, 9 bцlYn 38 isY qismYtdir. BцlmY YmYlinin aşağıdakı xassYlYrini qeyd edYk:

I xassY. CYmi hYr hansı bir YdYdY bцlmYk ьзьn, hYr bir toplananı bu YdYdY bцlьb alınan qismYtlYri toplamaq lazımdır:

(m+n):p=(m:p)+(n:p).



II xassY. FYrqi hYr hansı bir YdYdY bцlmYk ьзьn azalan vY зıxılanı hYmin YdYdY hYmin YdYdY ayrı-ayrılıqda bцlьb, birinci qismYtdYn ikinci qismYti зıxmaq lazımdır:

Ё1. ЧОХЛУГЛАР ВЯ ОНЛАР ЦЗЯРИНДЯ ЯМЯЛЛЯР
Чохлуглар нязяриййяси мцасир рийазиййатын ясасыны тяшкил едир. Бу нязяриййя ХЫХ ясрин сонларындан башлайараг рийази анализин ясаслан-дырылмасы зярурятиндян йаранмышдыр. Чохлуглар нязяриййяси цзря илк ъидди елми нятиъяляр эюркямли алман рийазиййатчысы Эеорэи Кантора (1845-1918) мяхсусдур. Мцасир дюврдя чохлуглар нязяриййяси ри-йазиййатын мцстягил бир сащяси кими эениш инкишаф етмишдир. CYbr курсунда онун йалныз бязи мясяляляри юйрянилир. Ясасян щягиги ядядляр чохлуьунун юйрянилмяси иля мяшьул олаъаьыг.

Чохлуг анлайышы рийазиййатын илк анлайышларындан биридир. Она еля тяриф вермяк мцмкцн дейилдир ки, бу заман чохлуг сюзцнцн сино-нимляри олан «кцллиййат», «аиля», «коллексийа», «синиф» «систем» вя с. сюзлярдян истифадя едилмясин. Она эюря дя чохлуьа тяриф верилмир, йалныз тясвир олунур. Чохлуг дедикдя мцяййян бир яламятя эюря бир-ляшмиш обйектляр кцллиййаты баша дцшцлцр. Мясялян, аудиторийадакы тялябяляр чохлуьу, натурал ядядляр чохлуьу, парчанын нюгтяляри чох-луьу вя с.

Чохлуьу тяшкил едян обйектляр онун елементляри адланыр. Чохлуглары адятян латын ялифбасынын A, B, C, X, Y, …, баш щярифляриля, онун елементлярини ися a, b, c, x, y,…, кичик щярифляриля ишаря едирляр. Яэяр a елементи A чохлуьуна дахилдирся, онда бу факт символик олараг вя йа кими йазылыр. a елементи A чохлуьуна дахил дейился, онда бу факты вя йахуд кими йазырлар. Мясялян, A ъцт ядядляр чохлуьудурса, онда йазылышы ону эюстярир ки, A чохлуьу бу вя йа диэяр хассяни юдяйян a, b, c, …, елементляриндян ибарятдир.

Рийази ядябиййатда бир чох щалларда гыса йазмаг хатириня мянтиг символларындан истифадя олунур. Рийази мцщакимялярдя тез-тез бу вя йа диэяр хассяни юдяйян «елемент вардыр», щямчинин, мцяййян хас-сяни юдяйян «ихтийари елемент» ифадяляриня раст эялинир. «Вардыр» вя йа онунла еквивалент олан «тапылыр» сюзляри явязиня символу (варлыг символу) ишлядилир. «Ихтийари» вя йа онунла еквивалент олан «истяни-лян», «бцтцн» «щяр бир» синонимляри явязиня ися символундан (их-тийарилик символу) истифадя етмяк гябул олунмушдур. Яэяр щяр щансы фактындан (бярабярлик, бярабярсизлик, теорем вя с.) щюкмц алынарса, онда бу факты кими ишаря едирляр. Яэяр фактындан B щюкмц вя тярсиня B фактындан щюкмц алынарса, онда бу факт кими йазылыр вя ашаьыдакы кими охунур: фактынын юдянмяси фактынын юдянмяси цчцн зярури вя кафи шяртдир вя йахуд, факты йалныз вя йалныз о щалда доьрудур ки, факты доьру олсун. символу еквивалентлик символу адланыр. символу иля «вя» баьлайы-ъысыны, символу иля «вя йа» баьлайыъысыны ишаря едирляр. символу бярабярлик ишарясинин сол тяряфиндяки ифадянин саь тяряфин васитяси иля тяйин олундуьуну эюстярир вя «тярифя эюря бярабярлик» символу адланыр (def - инэилис сюзц «definition» сюзцнцн илк цч щярфиндян иба-рят олуб, мянасы тяриф демякдир). Йери эялдикъя бу символлардан исти-фадя едяъяйик.

Тутаг ки, чохлуьу еля елементляриндян ибарятдир ки, бу еле-ментляр мцяййян бир яламятини (хассясини) юдяйир. Бу щалда чохлуьуну фигурлу мютяризядян истифадя етмякля шяк-линдя йазмаг гябул олунмушдур. Бу символик йазылыш беля охунур: чохлуьу еля x елементляриндян ибарятдир ки, онлар хассясини юдяйир. Елементи олмайан чохлуьа бош чохлуг дейирляр вя ону символу иля ишаря едирляр. Мясялян, тянлийинин щягиги кюкляринин ямяля эятирдийи чохлуг бош чохлугдур.

Сонлу сайда елементлярдян ибарят олан чохлуьа сонлу чохлуг де-йилир. Мясялян, тянлийинин кюкляринин ямяля эятирдийи чохлуг цч елементли чохлуьудур. Сонлу олмайан чохлуглар сонсуз чохлуглар адланыр. Мясялян, натурал ядядляр чохлуьу сонсуз чохлугдур.

Тутаг ки, ики бош олмайан вя чохлуглары верилмишдир. Яэяр чохлуьунун ихтийари елементи щям дя чохлуьунун елементи оларса, онда дейирляр ки, чохлуьу чохлуьунун алт чохлуьудур вя йа чохлуьу чохлуьуна дахилдир вя бу факты символик олараг вя йа кими йазырлар. (,  символлары чохлуглар цчцн дахилолма символларыдыр). Мясялян, ъцт ядядляр чохлуьу натурал ядядляр чохлуьунун алт чохлуьудур. Айдындыр ки, щяр бир чохлуг юзц-юзцня дахилдир.

Тутаг ки, бош олмайан вя чохлуглары верилмишдир. Яэяр вя мцнасибятляри доьрудурса, онда дейирляр ки, вя чохлуглары бярабярдир вя бу факты кими йазырлар. Башга сюзля, вя чохлуглары ейни елементлярдян ибарят олдугда бярабяр чохлуглар адланыр. вя чохлугларынын бярабяр олмадыгларыны кими йазырлар.



вя олдугда дейирляр ки, чохлуьу -йя ъидди да-хилдир вя йахуд чохлуьу -нин дцзэцн щиссясидир.

Тутаг ки, вя чохлуглары мцяййян бир M чохлуьунун алт чохлугларыдыр.



Тяриф 1: вя чохлугларынын бирляшмяси M чохлуьунун йалныз вя йалныз еля елементляриндян ибарят чохлуьа дейилир ки, бу чохлуьун щяр бир елементи вя йа чохлугларынын щеч олмазса бириня дахил олсун.

вя чохлугларынын бирляшмяси кими ишаря олунур. Мянтиги символлардан истифадя етсяк,

.

Беляликля, чохлуьунун щяр бир елементи йа йалныз чохлуьуна, йа йалныз чохлуьуна, йа да бу чохлугларынын щяр икисиня дахилдир.

Айдындыр ки, олдугда бярабярлийи доьрудур. Хцсуси щалда = .

Ейни гайда иля сонлу сайда чохлугларынын бир-ляшмясиня вя чохлуглар системинин (аилясинин) бирляшмясиня тяриф верилир вя бунлары уйьун олараг вя кими ишаря едирляр.



МИСАЛЛАР:

1. Тутаг ки, , . Онда .

2. Яэяр , ися, онда бу чохлугларын бирляшмяси  натурал ядядляр чохлуьудур.

Ики чохлуьун бирляшмяси ямялиня щяндяси иллцстрасийа вермяк олар. вя чохлуглары олараг мцстяви цзяриндя шякил 1.1-дя тясвир олундуьу кими, мцяййян нюгтяляр чохлуьу (областлар) эютцряк. Бу чохлугларын бирляшмяси штрихлянмиш областын нюгтяляр чохлуьу олаъагдыр.



  • А Б


Шякил 1.1.

вя чохлугларынын щяр икисиня дахил олан елементляр онларын ортаг елементляри адланыр.

Тяриф 2: вя чохлугларынын ортаг елементляриндян ибарят олан чохлуьа бу чохлугларын кясишмяси дейилир вя кими ишаря олунур.

Беляликля, . чохлуглар сис-теми (аиляси) верилдикдя (бурада  щяр щансы индексдир) бу чохлуглар системинин кясишмяси дя аналожи гайда иля тяйин олунур вя кими ишаря олунур).

Айдындыр ки, яэяр оларса, онда . Хцсуси щалда олаъагдыр.

Чохлугларын кясишмяси ямялинин щяндяси иллцстрасийасы шякил 1.2-дя эюстярилмишдир.




  • А Б


Шякил 1.2.
МИСАЛЛАР:

1. Тутаг ки, , . Онда = = .

2. Тутаг ки, , . Онда .

Тяриф 3: Тутаг ки, вя чохлуглары верилмишдир. чохлуьунун чохлуьуна дахил олмайан елементляриндян ибарят олан чохлуьа вя чохлугларынын фярги дейилир ( чохлуьу чохлуьуна дахил олмайа да биляр) вя кими ишаря олунур.

Беляликля, .

Асанлыгла йохламаг олар ки, бярабярлийи доьрудур.
МИСАЛЛАР:

1. Тутаг ки, , . Онда = .

2. , оларса, онда = .

Ики чохлуьун фярги ямялиня дя щяндяси иллцстрасийа вермяк олар (бах: шякил 1.3).



  1. А Б


Шякил 1.3.

Айдындыр ки, бярабярлийи йалныз вя йалныз о щалда доьрудур ки, олсун. Тутаг ки, . Бу щалда фяргиндя чохлуьунун иля ортаг елементляри иштирак етмяйяъяк. Онда ( ) чохлуьу чохлуьунун чохлуьуна дахил олмайан елементлярини юзцндя сахлайаъагдыр. Она эюря дя . Эюрцндцйц кими чохлуглар цчцн фярг ямяли бирляшмянин тярс ямяли дейилдир.



Тяриф 4. олдугда фяргиня чохлуьунун чохлуьуна тамалайыъысы дейилир вя бу кими ишаря олунур.

Айдындыр ки, яэяр оларса, онда вя тярсиня, яэяр вя оларса, онда .

Шякил 1.4-дя чохлуьунун чохлуьуна тамамлайыъысы штрихлян-миш област кими тясвир олунмушдур.


Шякил 1.4.
Ё 2. ИНИКАСЛАР
Тутаг ки, вя мцъярряд, йяни ихтийари тябиятли елементлярдян ибарят чохлуглардыр. Мцяййян гануну (гайдасы) иля щяр бир елементиня чохлуьундан йеэаня елементи гаршы гойулдугда, чохлуьунда гиймятляри чохлуьундан олан функсийасы тяйин олунмушдур дейирляр. Хцсуси щалда вя ядяди чохлуглар олдугда, функсийасы бирдяйишянли ядяди (щягиги) функсийа адланыр (бирдяйишянли ядяди функсийалар щаггында сонракы параграфларда бящс олунаъагдыр).

вя мцъярряд чохлуглар олдугда бязян «функсийа» термини явязиня «иникас» термининдян истифадя етмяк даща мцнасибдир. Бу щалда дейирляр ки, иникасы чохлуьуну чохлуьуна иникас етдирир вя бу факты вя йа кими йазырлар.

Цмумиййятля, вя чохлугларынын елементляринин тябиятиндян асылы олараг функсийа термини явязиня «вектор-функсийа», «функсио-нал», «оператор» вя с. терминляриндян дя истифадя олунур.

Тутаг ки, щяр щансы елементдир. иникасы заманы бу еле-ментя уйьун эялян елементиня a елементинин образы дейилир.

Тутаг ки, щяр щансы елементдир. иникасы заманы образлары елементи олан бцтцн елементляр кцллиййатына елементинин прообразы (вя йахуд там прообразы) дейилир вя кими ишаря олунур.

Тутаг ки, иникасы верилмишдир вя щяр щансы чох-лугдур. олдугда шяклиндя олан бцтцн елементляр чохлуьуна чохлуьунун образы дейилир вя кими ишаря олунур. Беляликля, тярифя эюря .

иникасы верилдикдя чохлуьунун прообразы дедикдя, чохлуьунун елементляриндян ибарят еля чохлуг баша дцшцлцр ки, онун елементляринин образлары чохлуьуна дахил олсун. чохлуьунун прообразы кими ишаря олунур. Беляликля, .

Айдындыр ки, .

Гейд едяк ки, иникасын тярифиндя щяр бир елементинин мцяй-йян бир елементинин образы олмасы, щямчинин -ин мцхтялиф гиймятляриня гаршы -ин мцхтялиф гиймятляринин уйьун эялмяси шяртляри тяляб олунмур.

иникасы цчцн оларса, онда беля иникас сурйектив иникас вя йахуд сурйексийа адланыр. Башга сюзля, -дян эютцрцлмцш щяр бир елемент -дян эютцрцлмцш щеч олмазса бир елементин образыдырса, онда иникасы сурйексийа адланыр.

иникасы верилдикдя елементляри цчцн олдугда оларса, онда -я инйектив иникас вя йа инйексийа дейилир.

иникасы ейни заманда щям сурйексийа, щям дя инйек-сийадырса, онда о, бийектив иникас (бийексийа) вя йа вя чохлуглары арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг адланыр.

Тутаг ки, бийексийадыр, йяни вя чохлугларынын елементляри арасында гаршылыглы биргиймятли уйьунлуг йарадыр. Онда щяр бир елементиня еля елементини гаршы гойаг ки, иникасы заманы образы олсун, йяни бярабярлийи юдянсин. сурйектив иникас олдуьундан беля елементи вардыр. Диэяр тяряфдян инйектив иникас олдуьундан бу елементи щям дя йеэанядир. Беляликля, чохлуьуну -я гаршылыглы биргиймятли иникас етдирян йени бир иникас тяйин олунду. Бу иникас иникасынын тярс иникасы адланыр вя кими ишаря олунур. Айдындыр ки, бу тярс иникасын юзц дя бийектив иникасдыр вя иникасы иникасы иля ейнидир. Башга сюзля цчцн вя цчцн бяра-бярликляри доьрудур.



Теорем 1.1. Ики чохлуьун бирляшмясинин прообразы бу чохлугларын прообразларынын бирляшмясиня бярабярдир:

.

Исбаты. Тутаг ки, . Айдындыр ки,



Теорем 1.2. Ики чохлуьун кясишмясинин прообразы бу чохлугларын прообразларынын кясишмясиня бярабярдир:



Исбаты. Тутаг ки, . Онда



Теорем 1.3. Ики чохлуьун бирляшмясинин образы бу чохлугларын образларынын бирляшмясиня бярабярдир:



Исбаты. Яэяр ися, онда еля вардыр ки, олар. олдуьундан онда

.

Гейд едяк ки, ики чохлуьун кясишмясинин образы цмумиййятля десяк, онларын образларынын кясишмясиня бярабяр дейилдир, йяни



.

Иникаса аид бязи нцмуняляр эюстяряк.



Мисал 1: Тутаг ки, вя щягиги ядядляр чохлуьудур. иникасы ашаьыдакы дцстурла тяйин олунур:

а) , б) .

Бу иникасларын сурйексийа, инйексийа вя бийексийа олуб олмадыьыны мцяййян един.

а)-нын щялли. Орта мяктяб рийазиййат курсундан мялумдур ки, функсийасы бцтцн щягиги ядядляр чохлуьунда тяйин олунмушдур, гиймятляр чохлуьу ися парчасыдыр.

олдуьундан бу иникас сурйектив иникас дейилдир. О, ин-йексийа да дейилдир. Доьрудан да ики вя нюгтяляри цчцн бярабярлийи доьрудур. Демяли, бийексийа да дейилдир.

б)-нин щялли. Орта мяктяб рийазиййат курсундан мялумдур ки, функсийасы бцтцн ядяд охунда тяйин олунмушдур вя гиймятляр чохлуьу бцтцн щягиги ядядляр чохлуьудур. Демяли, бахылан иникас сурйексийадыр. Диэяр тяряфдян ихтийари ики ядяд олдугда доьрудур. Бу ися о демякдир ки, бахылан иникас инйексийа вя демяли, бийексийадыр.

Мисал 2: Тутаг ки, вя дцстуру иля тяйин олунан иникасынын сурйексийа, инйексийа, бийексийа олуб олмадыьыны мцяййянляшдирин.

Щялли. [2,4] парчасыны [2,0] [0,4] шяклиндя эюстяряк. Онда теорем 1.3-я эюря бахылан иникас цчцн

олдуьундан бу иникас сурйектив иникасдыр. Анъаг о, инйексийа дейилдир. Чцнки, [2,4] парчасына дахил олан ики вя нюгтяляри эютцрсяк, олдуьу щалда, бу нюгтяляр цчцн бярабярлийи доьрудур. Она эюря дя о, бу иникас бийексийа дейилдир.



Мисал 3: Тутаг ки, бцтцн чевряляр чохлуьу, мцстявинин бцтцн нюгтяляр чохлуьудур. иникасы щяр бир чевряйя онун мяркязини гаршы гойур. Бу иникасын сурйексийа, инйексийа, бийексийа олуб-олмадыьыны мцяййянляшдирин.

Щялли. Айдындыр ки, мцстявинин истянилян нюгтяси цчцн мяркязи нюгтяси олан щеч олмазса бир чевря мювъуддур. Де-мяли, бахылан иникас сурйектив иникасдыр. Лакин о, инйектив иникас де-йилдир. Чцнки ики консентрик чеврянин мяркязляри ейнидир. Тябии ки, о, бийексийа да дейилдир.

Мисал 4: Тутаг ки, шяклиндя квадрат тянликляр чохлуьудур; ися мцсбят ядядляр чохлуьудур. иникасы чохлуьундан эютцрцлмцш щяр бир квадрат тянлийя онун мцсбят кюкцнц гаршы гойур. Эюстярин ки, бу иникас сурйектив иникасдыр, анъаг инйектив иникас дейилдир.

Щялли. мцсбят ядяди цчцн чохлуьундан эютцрцлмцш вя кюкц -йа бярабяр олан щеч олмазса бир шяклиндя квадрат тянлик вар (бу квадрат тянлийи гураркян Вийет теореминдян истифадя етмяк олар). Демяли, чохлуьундан эютцрцл-мцш ихтийари елемент чохлуьундан эютцрцлмцш щеч олмазса бир елементин образыдыр, йяни бахылан иникас сурйексийадыр.

А чохлуьундан ики мцхтялиф елемент (ики мцхтялиф квадрат тянлик) эютцряк. Мясялян, вя . Бу тянлик-лярин щяр биринин мцсбят кюкц 3 ядядидир. Бу ися бахылан иникасын инйексийа олмадыьыны эюстярир.



Мисал 5. Тутаг ки, цчбуъаглар чохлуьу, ися щягиги ядядляр чохлуьудур. щяр бир цчбуъаьа онун периметрини гаршы гойан иникасдыр. Эюстярин ки, бу иникас инйексийадыр, анъаг сурйексийа дейилдир.

Щялли. цчбуъаглар чохлуьундан ики мцхтялиф вя цчбуъагларыны эютцряк. Айдындыр ки, олдугда онларын периметрляри дя мцхтялиф олаъагдыр: . Демяли бахылан иникас инйексийадыр. Диэяр тяряфдян чохлуьундан эютцрцлмцш щяр бир ядядиня чохлуьунда щеч бир цчбуъаг гаршы гойула билмяз. Бу ися о демякдир ки, бахылан иникас сурйексийа дейилдир.
Ё3. ЩЯГИГИ ЯДЯДЛЯР ЧОХЛУЬУ

1. Расионал ядядляр чохлуьу

Щягиги ядяд (вя йа садяъя ядяд) анлайышы рийази анализин ян мцщцм анлайышларындан биридир. Ядяд анлайышы узун инкишаф йолу кечмишдир. Яввялъя саймаг зярурятиля натурал ядядляр мейдана эялмишдир. вя с. ядядляр чохлуьу  натурал ядядляр чохлуьуну йарадыр: . натурал ядядляр чохлуьунда чыхма ямяли там ядядляр чохлуьунун йаранмасына сябяб олмушдур: . Там ядядляр чохлуьунда бюлмя ямялинин апарылмасы ися расионал ядядляр чохлуьунун, йяни ( вя там ядядлярдир, ) шяклиндя ядядляр чохлуьунун йаранмасына сябяб олмушдур. Ики вя расионал ядядляри цчцн бярабярлийи юдяндикдя бу расионал ядядляр бярабяр щесаб олунур. Она эюря дя щяр бир расионал ядяди йеэаня олараг, ихтисар олунмайан кяср шяклиндя эюстярмяк олар(бурада вя гаршылыглы садя ядядлярдир вя ). Расионал ядядляр чохлуьуну иля ишаря етмяк гябул олунмушдур. Беляликля,



.

Мяктяб рийазиййат курсундан мялумдур ки, расионал ядядляр чох-луьунда топлама, чыхма, вурма вя сыфырдан фяргли ядядя бюлмя ямяллярини йериня йетирмяк вя расионал ядядляри мцгайися етмяк олар. Расионал ядядляр чохлуьунда тяйин олунмуш бу ямяллярин мяк-тяб рийазиййат курсундан бизя мялум олан бцтцн хассялярини гейд едяк. Бу хассяляр кцллийатына мяктяб рийазиййат курсунда юйрянил-мяйян даща бир хассяни – расионал ядядлярин Архимед хассясини дя ялавя едяк.


Ы. Топлама ямяли. Истянилян вя расионал ядядляр ъцтц цчцн бу ядядлярин ъями адланан вя кими ишаря олунан йеэаня расионал ядяд вардыр. Башга сюзля, -дя топлама ямяли тяйин олунмушдур.

Топлама ямяли ашаьыдакы хассяляря маликдир:

1) цчцн . Бу топлама ямялинин коммутативлик вя йа йердяйишмя хассяси адланыр;

2) цчцн . Бу топлама ямялинин ассосиативлик вя йа груплашдырма хассяси адланыр;

3) Сыфыр адланан вя 0 кими ишаря олунан еля ядяд вардыр ки, цчцн ;

4) цчцн бу ядядин якси адланан вя кими ишаря олунан еля расионал ядяд вар ки, .



ЫЫ. Вурма ямяли. ядядляр ъцтц цчцн бу ядядлярин щасили адланан вя аб кими ишаря олунан йеэаня расионал ядяд вардыр. Башга сюзля -дя вурма ямяли тяйин олунмушдур. Бу ямял ашаьыдакы хассяляря маликдир.

1) цчцн . Бу хасся вурма ямялинин ком-мутативлик вя йахуд йердяйишмя хассяси адланыр.

2) цчцн . Бу хасся вурма ямялинин ассосиативлик хассяси адланыр.

3) Ващид адланан вя 1 кими ишаря олунан еля ядяд вар ки, цчцн .

4) Ихтийари расионал ядяди цчцн бу ядядин тярси адланан вя йа кими ишаря олунан еля расионал ядяд вар ки,

.

олдугда аЧ ядяди а ядядинин б ядядиня нисбяти адланыр вя а:б вя йахуд кими ишаря олунур;

5) цчцн .

Бу хасся вурма ямялинин топлама ямялиня нязярян диструбитивлик (пайлама) хассяси адланыр.

ЫЫЫ. Низамлылыг мцнасибяти. Ихтийари ики ядядляри цчцн бярабярлийи вя йахуд бярабярсизликляриндян йалныз бири доьрудур. Бу ямял ашаьыдакы хассяляря маликдир.

1) Яэяр вя оларса, онда вя оларса, онда ;



  1. Яэяр оларса, онда ядяди цчцн ;

  2. Яэяр вя оларса, онда вя оларса, онда .

ЫВ.Архимед хассяси. расионал ядяд цчцн еля натурал ядяди вар ки, бярабярсизлийи доьрудур.

Гейд олунан хассяляря расионал ядядлярин ясас хассяляри дейирляр. Лакин тяърцбя эюстярир ки, бир сыра мясялялярин щялли цчцн расионал ядядляр кифайят етмир. Мясялян, расионал ядядляр чохлуьунда на-турал ядяд олдугда кими садя квадрат тянлийи щялл етмяк щеч дя щямишя мцмкцн дейилдир. Мясялян, тянлийинин расионал ядядляр чохлуьунда щялли йохдур. Башга сюзля, квадраты 2-йя бярабяр олан расионал ядяд йохдур. Бу щюкмц исбат етмяк цчцн яксини фярз едяк. Тутаг ки, квадраты 2-йя бярабяр олан расионал ядяд вар вя бу расионал ядяд ихтисар олунмайан кясридир. Онда олар. бярабярлийиндян ядядинин ъцт олмасы вя демяли -ин ъцт олмасы алыныр. Тутаг ки, . Бурадан вя йа аларыг. Ахырынъы бярабярликдян н ядядинин ъцт олмасы алыныр. Беляликля, вя ядядляринин щяр икиси ъцтдцр. Бу ися кясринин ихтисар олунмамасы шяртиня зиддир.

Беляликля, квадраты 2-йя бярабяр олан расионал ядядин варлыьы щагда фярзиййямиз доьру дейилдир. Башга сюзля, квадраты 2-йя бярабяр олан расионал ядяд йохдур.
2. Расионал ядядлярин сонсуз онлуг кяср шяклиндя эюстярилиши

Щягиги ядяд анлайышынын дахил едилмясинин(тяйин едилмясинин) бир нечя цсулу мювъуддур. Бу цсуллардан бири дя сонсуз онлуг кяср анлайышына ясасланыр. Мяктяб рийазиййат курсундан мялумдур ки, шяклиндя щяр бир мцсбят расионал ядяди, ядядини -я бюлмякля онлуг кяср шяклиндя эюстярмяк олар. Бурада ики щал мцмкцндцр:

1. расионал ядяди сонлу онлуг кяср шяклиндя эюстярилир;

2. расионал ядяди сонсуз онлуг кяср шяклиндя эюстярилир.



ядядини -я бюляркян айдындыр ки, галыгда йалныз ядядляриндян бири ола биляр. Яэяр мцяййян бир сонлу аддымдан сонра галыгда 0 алынарса, онда бюлмя просеси гуртармыш щесаб олунур вя бу щалда сонлу онлуг кяср алыныр (1-ъи щал):

. (1.1)

Бурада -мянфи олмайан там ядяд, -лар онлуг сай системинин рягямляридир.

2-ъи щалда, йяни галыг сыфра бярабяр олмадыгда, -ъи ад-дымдан эеъ олмайараг алынан галыг юзцндян яввялки галыглардан бири иля цст-цстя дцшяъякдир. Бу аддымдан башлайараг бюлмя просеси там тякрар олунаъагдыр.

Беля сонсуз сайда тякрарланан рягямляр кцллийаты (комбинаси-йасы) сонсуз онлуг кясрин дюврц адланыр. Бу щалда, шяклиндя ихти-йари расионал ядяд верилдикдя онун сонсуз онлуг кяср шяклиндя айры-лышы ашаьыдакы шякилдя йазылыр:



(1.2)
« » рягямляр кцллийаты (ядяди) (1.2) айрылышынын дюврцдцр. Мясялян, кясринин сонсуз дюврц онлуг кяср шяклиндя эюс-тярилишиня бахаг:


8

80

78

20

13

70

65

50

39

110


104

60

52

80

78

2
Беляликля, 8 ядядини 13-я бюляркян 7-ъц аддымда галыгда 2 ядяди алынды вя демяли, гисмятдя «6153846» рягямляр кцллиййаты вя йа 6153846 ядяди йенидян тякрар олунаъагдыр. Бюлмя просесинин 14-ъц аддымында йенидян галыгда 2 ядяди йаранаъагдыр вя беляликля, «615384» рягямляр кцллийаты вя йа 615384 ядяди сонсуз тякрарланаъагдыр.



=0,61538466153846…

расионал ядядини сонсуз дюврц онлуг кяср шяклиндя эюстярдик. 615384 ядяди бу айрылышын дюврцдцр. (1.2) айрылышындан истифадя етмякля =0,(615384) кими йазылыр.

Еля сонсуз дюврц онлуг кясрляр вар ки, дювр бирбаша там щиссядян сонра башлайыр. Беля онлуг кясрляр саф сонсуз дюврц онлуг кясрляр ад-ланыр. Мясялян, =0,(615384), =0,(285714) саф сонсуз дюврц онлуг кясрлярдир. Яэяр дювр бир вя йа бир нечя онлуг ишарядян сонра башлайырса, беля кясрляря гарышыг сонсуз дюврц онлуг кясрляр дейилир. Мясялян, =0,00707…=0,0(07) гарышыг сонсуз дюврц онлуг кяср-дир.

Гейд едяк ки, (1.1) шяклиндя олан щяр бир сонлу онлуг кясри ики ъцр сонсуз онлуг кяср шяклиндя эюстярмяк гябул олунмушдур.

1)

2)

Мясялян, 0,75 сонлу онлуг кясрини 0,75000… вя йахуд 0,74999… кими сонсуз онлуг кяср шяклиндя йазмаг олар.

Яэяр расионал ядяди мцсбятдирся, онда -ин онлуг ай-рылышынын гаршысында мянфи ишаряси эютцрмякля- расионал ядядинин сонсуз дюврц онлуг кяср шяклиндя айрылышыны алмыш оларыг. Айдындыр ки, бярабяр расионал ядядляря ейни сонсуз дюврц онлуг кяср уйьун эялир. Сыфыр ядядиня 0,000… айрылышы уйьун эялир.

Беляликля, щяр бир расионал ядяди сонсуз дюврц онлуг кяср шяклиндя эюстярмяк олар. Исбат етмяк олар ки, тярсиня, щяр бир сонсуз дюврц онлуг кяср бир расионал ядядя уйьундур. Биз бу факты цмуми шякилдя исбат етмяйяъяйик. Мисаллара мцраъият едяк.



Мисал 1. 0,(78) сонсуз дюврц онлуг кясрини расионал ядяд шяклиндя йазын.

Щялли. 0,7878… ишаря едяк. Онда, 100 78,7878… олар. 100х-х=78. Бурадан х= аларыг. Беляликля, 0,(78)= .

Мисал 2. 0,25(841) сонсуз дюврц онлуг кясрини расионал ядяд шяклиндя йазын.


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə