Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii




Yüklə 30.29 Kb.
tarix28.02.2016
ölçüsü30.29 Kb.
Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.



    1. Reamintim că funcţia de gradul al doilea are forma generală:

f : R R, f(x) = ax2 + bx + c, unde numerele reale a, b, c (cu a0 ) se numesc coeficienţii ecuaţiei.

A determina o funcţie de gradul al doilea (sau, în general o funcţie a cărei expresie este polinomială) înseamnă a-i determina coeficienţii a, b şi c.

Graficul său Gf este o parabolă aşezată:

a). cu ramurile în sus (respectiv cu vârful în jos ), dacă a  0;

b). cu ramurile în jos (respectiv cu vârful în sus ), dacă a  0.

Vârful acestei parabole este determinat în funcţie de coeficienţii a, b şi c ai ecuaţiei. Astfel, avem V, unde  = b – 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0 ataşată funcţiei.

Vârful parabolei reprezintă şi punctul de extrem al funcţiei. Astfel,

a). dacă a  0, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deci V va fi punct de minim. Se spune că este minimum-ul funcţiei f, care se realizează pentru x = .

Evident, are loc relaţia f = .

b). dacă a  0, V este un punct de maxim. Deci maximum-ul lui f este , care se realizează în x=, adică f( ) = .

Din punct de vedere geometric, abscisele punctelor de intersecţie ale graficului lui f cu axa Ox sunt rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea ataşate (evident, în cazul în care graficul intersectează axa absciselor).

Deci:


a). dacă   0, rezultă că ecuaţia are două rădăcini reale şi distincte, deci Gf intersectează Ox în două puncte distincte, având abscisele respectiv , .

b). dacă  = 0, avem două rădăcini reale şi egale, deci graficul lui f intersectează Ox într-un singur punct, având abscisa . Spunem că graficul lui f este tangent axei Ox. ( În acest caz, cele două rădăcini sunt egale între ele si egale cu abscisa vârfului parabolei ).

c). dacă   0, graficul lui f nu intersectează axa Ox.

Axa de simetrie a parabolei este dreapta perpendiculară pe Ox şi care trece prin vârful acesteia. Ecuaţia ei este: x = .

În general, un punct M( )Gf , unde f este o funcţie oarecare, dacă şi numai dacă f() = .


    1. Probleme rezolvate



      1. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic trece prin punctele A(1,-8), B(-1,-10) şi taie axa yy’ în C(0,-10).



Rezolvare


Funcţia este de forma f(x) = ax2 + bx + c.

Cele trei puncte aparţinând graficului lui f, coordonatele lor verifică ecuaţia graficului. Astfel, A(1,-8) Gf f(1) = -8 ,

B(-1,-10) Gf f(-1) = -10,

C(0,-10) Gf f(0) = -10.

Înlocuind în forma funcţiei, avem:

Rezolvând sistemul, obţinem: a = 1, b = 1, c = -10.

Deci, funcţia căutată este de forma: f(x) = x2 + x - 10.


      1. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic are vârful V(1,2) şi taie axa yy’ in punctul M(0,-3).


Rezolvare

Fie f(x) = ax2 + bx + c. Vom determina coeficienţii. Din faptul ca V(1,2) este vârful parabolei şi ţinând cont de faptul ca V are coordonatele , vom arăta că: =1 şi =2.

A treia relaţie, adică f(0) = -3 va rezulta din M(0,-3)Gf.

Rezolvând sistemul format de cele trei relaţii, obţinem a = -5, b = 10 si c = =-3.




      1. Se dă funcţia f(x) = |ax2 - 3x + c|. Dacă 0 < a < 2 şi c < 0, să se determine a şi c astfel încât f(0) = 4 si f(1 )= 6.



Rezolvare


f(0) = 4  |a·02 - 3·0 + c| = 4  |c| = 4  c{-4,4}.

Dar, cum c  0, vom avea că c = -4.

Cum f(1) = 6, avem că a - 7 = 6, de unde a – 7  {-6, 6 }. Deci a – 7 =-6

de unde a = 1 sau a – 7 = 6, de unde a = 13.

Dar a  [0, 2], deci valoarea a = 1 este cea care convine.

Aşadar funcţia căutată este f(x) = x2 – 3x - 4.




      1. Fie funcţia f(x) = x2 – 6x + 5. Notăm cu S aria cuprinsă între graficul acestei funcţii şi axa Ox. Să se arate că 10  S  16.



Rezolvare


Calculăm punctele în care Gf intersectează axa Ox – adică rădăcinile ecuaţiei ataşate – şi coordonatele vârfului parabolei. Obţinem x1 = 1, x2 = 5 şi

V(3, -4). În continuare, reprezentăm grafic funcţia.

Ideea unei astfel de probleme este să încadrăm aria figurii cuprinse între grafic şi axa Ox – adică S – între două valori care să reprezinte ariile unor figuri geometrice cunoscute.

Astfel, se observă uşor că S este mai mică decât aria patrulaterului ABFE, despre care se arată imediat că este pătrat cu latura de 4. Cum aria lui ABFE este 42, rezultă că S  16.

Considerăm acum trapezul dreptunghic ABDC şi triunghiurile dreptunghice CMV şi DMV. Exprimăm ariile acestora:

AABDC =

ACMV = AMVD = .

Remarcăm faptul că S  AABDC + ACMV + AMVD = 9 + =10. Deci S  10.




      1. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent axei Ox şi intersectează dreapta y = 2x – 12 în punctele de abscisă 4 şi –2.


Rezolvare

Fie f(x) = ax2 + bx + c.

Gf  Ox = {M}   = 0  b2 – 4ac = 0.

Calculăm intersecţia dintre graficul funcţiei şi dreapta y = 2x – 12 rezolvând sistemul:



Rădăcinile ecuaţiei ax2 + (b-2)x + c + 12 = 0 sunt chiar abscisele punctelor de intersecţie dintre graficul funcţiei şi dreapta y = 2x – 12.

Aplicăm relaţiile lui Viète:

x1 + x2 = - , x1 * x2 = .

Cum rădăcinile x1 şi x2 sunt ( din ipoteză ) 4 şi –2, avem:



.

Pentru a determina funcţia f trebuie rezolvat sistemul:





De unde avem: a = – 1, deci b = 4 şi c = - 4 sau a = şi b = , c = . Deci f(x) = -x2 + 4x – 4 sau f(x) = .




      1. Să se determine coeficienţii reali a şi b astfel ca parabola definită de ecuaţia y = ax2 + + bx – 8 să taie axa Ox în punctele A şi B, cu AB = 6 iar vârful parabolei să aibă abscisa egală cu 1.

Indicaţie:

Cum AB = 6, avem că  x1 – x2 = 6 iar din rezultă că x1 + x2 = 2. Sistemul format de aceste două ecuaţii în x1 şi x2 se desface în următoarele două sisteme: , care se rezolvă.

1.3. Probleme propuse
1.3.1. Să se determine funcţia de gradul al doilea ştiind că admite un minim egal cu 9 şi graficul funcţiei trece prin punctele A(– 1, 13) şi B(2, 10).

(Vezi partea de teorie unde se defineşte minimum-ul funcţiei de gradul al doilea!)


1.3.2. Să se determine funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c astfel încât graficul acestei funcţii să treacă prin punctele A(1,2), B(– 1,6), C(2,3).
1.3.3. Să se determine o funcţie de gradul al doilea astfel încât graficul acesteia să treacă prin punctele A(– 2,20), B(– 1,12) şi să taie axa Ox în punctul C(2,0).
1.3.4. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic să aibă vârful în punctul V(4,–4) şi să taie axa Oy în punctul de abscisă 12.

Indicaţie: un punct de pe axa Oy este de forma M(0,α).


1.3.5. Să se determine funcţia de gradul al doilea care admite un maxim egal cu 9 şi trece prin punctele A(1,–7 ) şi B(–1,–27).
1.3.6. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = x2 – 4x + 3. Notăm cu S aria cuprinsă între graficul acestei funcţii şi axa Ox. Să se arate că 11.3.7. Să se determine numerele reale a şi b astfel încât parabola y = x2 +ax + b să aibă vârful în punctul V(1,–1).
1.3.8. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent axei Ox în punctul de abscisă 3 şi trece prin A(2,9).
1.3.9. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic trece prin punctele A(3,1) şi B(2,1) şi are ca axă de simetrie dreapta x = 2:
1.3.10. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic taie Oy în punctul de ordonată 1, trece prin B(2,1) şi este tangent dreptei y = -1.
1.3.11. Aflaţi valorile lui a şi b pentru care parabolele de ecuaţii y = x2 – 2x + a şi y = 2x2 – bx + 3 au vârful comun.
1.3.12. Se consideră funcţia f : RR , f(x) = x2 + ax + b, cu a şi b parametri reali. Să se determine aceşti parametri astfel încât să fie îndeplinite simultan condiţiile:

a). Graficul funcţiei să intersecteze dreapta y = 3x – 4 în punctul de abscisă 1;



b). Ordonata vârfului parabolei să fie egală cu 1.
1.3.13. Să se determine a şi b astfel ca parabola definită de ecuaţia y = ax2 + bx – 8 să taie axa Ox în punctele B şi C astfel că segmentul BC are lungimea 6 iar vârful parabolei are ordonata egală cu 8.

(G.M.B. , 11107, C.I Ţ.)


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə