Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ




Yüklə 78.6 Kb.
tarix10.04.2016
ölçüsü78.6 Kb.
BAKI DÖVLƏT UNİVERSİTETİ

TƏTBİQİ RİYAZİYYAT VƏ KİBERNETİKA FAKULTƏSİ
«Tətbiqi Riyaziyyat» kafedrası

I kurs 370-№li qrup tələbəsi

Baxşıyev Vüqar oğlunun

«Ədədi sıralar»

mövzusundan
KURS İŞİ


KAFEDRA MÜDİRİ -akad. Qasımov M. G.

ELMİ RƏHBƏR - prof. Orucov H. D.


BAKI 2005


GİRİŞ.
Bildiyimiz kimi Riyazi analiz teoremləri onların isbatı ilə öyrənir və tətbiq sahələrini araşdırır. Riyazi analiz XVIII əsrdə yaranmış, lakin onun tam əsaslandırılması ancaq XIX əsrin sonunda Koşinin yaratdığı limit nəzəriyyəsinin köməyi ilə baş vermişdir.

Sıra riyazi analzin mühüm anlayışlarından biridir. Əvvəlcə sıra haqqında mə’lumat verək.

Tutaq ki, hər hansı ədədi ardıcıllıq verilib.
a1 , a2 , a3 , ... , an , ... (1)
Bu ədədlərdən aşağıdakı ifadəni düzəldək.
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (2)
Bu ifadəyə sonsuz sıra deyilir. (1)-ə isə sıranın hədləri deyilir. Cəm işarəsindən istifadə etsək (2) ifadəsini aşağıdakı kimi yaza bilərik.
n (3)
Sıranın hədlərinin nömrələnməsi ola bilər ki, 1-dən yox , sıfırdan və ya ixtiyari natural ədəddən başlansın. (3) simvoluna mə’na vermək üçün bu sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığını düzəldək.

A1=a1 , A2=a1 + a2 , A3=a1 + a2 + a3 , ... , An= a1 + a2 + a3 + ... +an + ...


Sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı

Tə’rif: Əgər sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının sonsuz və ya sonlu limiti

varsa həmin limitə An sırasının cəmi deyilir. Və aşağıdakı kimi

işarə olunur.
An = S
Onda S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = n

Əgər S ədədi sonlu olarsa onda sıraya yığılan sıra deyilir. Əgər S ədədi +∞ və ya -∞ və yaxud da sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının limiti yoxdursa onda A sırasına dağılan sıra deyilir.

Əgər (2) sırasında m sayda birinci toplananı atdıqdan sonra alınan
am+1 + am+2 + ... + am+k + ... = n
sırasına verilmiş sıranın m-ci həddindən sonrakı qalığı deyilir.

Teorem. Sıranın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun istənilən qalığının yığılmasıdır. Və tərsinə, əgər qalıq yığılarsa onda sıra da yığılır.

Doğrudan da fərz edək ki, Am sırası yığılır.


m= am+1 + am+2 + ...
Göstərək ki, ixtiyari m üçün m-də yığılandır.
Sk = am+1 + am+2 + ... + am+k
Aydındır ki, Sk = Am+k –Am. Buradan (k→∞) limitə keçsək, Am+k = S və Am –in sabit ədəd olduğunu nəzərə alsaq onda alarıq.
Sk = S - Am
Qalıq sıranın cəmini m ilə işarə etsək m = S – Am. Və tərsinə əgər qalıq yığılarsa onda sıra da yığılar.

Qeyd edək ki, qalıq sıranın m-ci həddi üçün aşağıdakı doğrudur.


m = 0
Teorem. Əgər sıra yığılırsa onda onun n-ci həddinin limiti aşağıdakı kimi olur.
an = 0
İsbatı. Aydındır ki, an = An – An-1 (1) doğrudur. Əgər An = S onda An-1= S olmalıdır. S sonlu ədəd olduğundan (1) –dən limitə keçsək isbat aydın olar. Amma bu şərt kafi deyil.

Misal. Tutaq ki bizə sırası verilib. an = .an = 0. Zəruri şərt ödənir. Amma dağılan sıradır. Doğrudan da
An = 1+ + ... + > n = .An = +∞ -dan aydın görünür.

Teorem: Tutaq ki, bizə iki n n yığılan sıraları verilmişdir. Onda an+bn) sırası da yığılandır və an + bn) = n + n (1) doğrudur.

İsbatı.Tutaq ki, Sn = k , S/n = kn = ak + bk). Onda n = Sn + S/n. Onda SnS/n limitləri var və onda n limiti də var. Və
n = (Sn + S/n) = Sn + S/n.

Bu isə elə (1) bərabərliyi deməkdir.


Müsbət hədli sıra anlayışı.
Tutaq ki, bizə n (A) sırası verilmişdir. an0 olarsa onda (A) sırasına müsbət hədli sıra deyilir. Bəzən tərifi belə də deyirlər. n0 var ki, nn0 , an olsun onda (A) sırasına müsbət hədli sıra deyilir.

Ümumiyyətlə müsbət hədli (A) sırasının həmişə cəmi var. Əgər sıranın xüsusi cəmi yuxarıdan məhduddursa onda bu cəm sonlu olacaq (sıra yığılan olacaq). Əks halda isə cəm sonsuz olacaq (sıra dağılan olacaq).



Teorem 1. Tutaq ki, bizə iki müsbət hədli sıra verilmişdir.
n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A)
n = b1 +b2 + b3 + ... + bn + ... (B)
Və anbn , nn0 (1). Belə ki, müəyyən həddən sonra (1) bərabərsizliyi doğrudur. Onda (B) sırası yığılırsa (A) sırası da yığılır. (A) sırası dağılırsa onda (B) sırası da dağılır.

İsbatı. Qeyd edək ki, məsələn (A) sırasında n1 saydası mənfi, (B) sırasında n2 saydası mənfi, n3 saydası sıfır olan hədlər var. n0 = max(n1, n2, n3) olsa onda n = An0 n = Bn0 müsbət hədli sıra olacaq. An0 və Bn0 sıralarının yığılıb-dağılması (A) və (B) sıralarının yığılıb-dağılmasına ekvivalentdir. Fərz edək ki, (A) və (B) sıralarının bütün hədləri mənfi deyil. Fərz edək ki, (B) sırası yığılır. Onda bn = b1 +b2 + b3 + ... + bn. Əvvəlcə fərz edək ki, 0b1b2... monoton artan ardıcıllıqdır. Onda
Bn = B
B = {Bn}, n üçün BnB. Onda (1) bərabərsizliyini nəzərə alsaq deyə bilərik ki, AnBn doğrudur. Və Bn yuxarıdan məhduddur. Onda An-də yuxarıdan məhduddur, məsələn B ədədi ilə. Digər tərəfdən (A) müsbət hədli sırasında An –lər geniş mənada monoton artan ardıcıllıq əmələ gətirir. Və Veyerştras teoreminə görə An ardıcıllığının sonlu limiti var, yəni (A) sırası yığılandır.

Fərz edək ki, (A) sırası dağılır. Onda göstərək ki, (B) sırası da dağılır. (A) sırası üçün An = +. Onda AnBn-ə görə və limitlər haqda teoremə görə alırıq ki, Bn = +. Yəni (B) sırası da dağılandır.



Teorem 2. Tutaq ki, bizə iki müsbət hədli sıra verilmişdir.
n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A)
n = b1 +b2 + b3 + ... + bn + ... (B)

Belə ki, = K (Burada fərz olunur ki, bn =0 deyil). Burada aşağıdakı hallar mümkündür.

1) 0 olarasa onda (A) və (B) sıraları eyni zamanda ya yığılandır, ya da dağılandır.

İsbatı. Ardıcıllığın tərifinə görə >0, n0, n>n0 var ki, – K <

Yəni K - < < K+ (1). Əgər 1) şərti ödənərsə onda bn-lərin hamısı müsbət olmalıdır. Ümumiliyi pozmadan deyək ki, bn – lərin hamısı müsbətdir. Onda


(K- )bnnn(K+) (1/ ).
Aydındır ki, əgər n sırası yığılandırsa onda bn sırası da yığılandır. bn = (K+) n. Onda əvvəlki teoremə görə an sırası da yığılır. Yenə də həmin teoremə görə ann(K+) görə an dağılarsa onda bn –də dağılandır. Və onda n –də dağılandır. Əgər an yığılandırsa onda hökm etmək olar ki, bn –də yığılır. Və bn dağılırsa onda an –də dağılır. Sonuncuları isbat etmək üçün -ə baxmaq lazımdır.
= . - < <+. bn<(+)an.
Onda yuxarıda deyilənləri tətbiq etsək deyilənlər doğru olar.
2). = 0. (K=0).

Əgər bn sırası yığılarsa onda an sırası da yığılır. Və əgər an dağılarsa onda bn sırası da dağılır. Amma an sırası yığılarsa buradan bn sırasının yığılmasını demək olmaz.



İsbatı. >0, n0 ,n>n0 var ki, 0. Alırıq ki, an< bn (1) doğrudur. Onda teoremin hökmü müsbət sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən çıxır.

3). = + ∞.



an sırası yığılarsa bn sırası da yığılar, bn sırası dağılarsa an sırası da dağılar.

İsbatı. Limitin tərifinə görə n0 var ki,M>0, n>n0, >M. Buradan da alınır ki, an>M bn doğrudur. Onda teoremin hökmü müsbət sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən çıxır.

Teorem 3. Tutaq ki, bizə iki müsbət hədli sıra verilmişdir.
n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A)
n = b1 +b2 + b3 + ... + bn + ... (B)
Belə ki, aşağıdakı bərabərsizlik doğrudur.
(1)
Əgər (B) sıra yığılarsa onda (A) sırası da yığılır. Əgər (A) sırası dağılandırsa onda (B) sırası da dağılandır.

İsbatı. (1) bərabərsizliyindən alınır ki,
... ,
Bu bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə vursaq onda alarıq.
→ anbn.
Buradan isə müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən isbat aydın gürünür.

Kummer əlaməti.
İndi isə konkret olaraq Kummer (E.E.Kummer) əlaməti anlayışını verək. Sonralar biz bu əlamətə ümumi sxem kimi baxacağıq.

Kummer əlaməti. Tutaq ki, bizə müsbət hədli

n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A)
sırası və müsbət hədli c1, c2, c3, ... ,cn, ... ardıcıllığı verilmişdir. Belə ki, aşağıdakı sıra dağılandır.

Qeyd edək ki, biz burada ancaq dağılma əlamətindən danışacağıq. Yığılma əlamətinin izahına isə ehtiyac yoxdur. (A) sırasını aşağıdakı variantda düzəldək.
Kn = cn - cn+1
Əgər >0 və üçün Kn şərti ödənərsə onda sıra yığılandır. Əgər >0 və Kn şərti ödənərsə onda sıra dağılandır.

İsbatı. Tutaq ki,
Kn = cn - cn+1 (1)
Onda bu bərabərsizlik bütün n-lər üçün doğru olar. (1) bərabərsizliyinin hər iki tərəfini an+1 -ə vursaq onda alarıq.
cnan – cn+1an+1an+1 (2)
Onda
cnan – cn+1an+1>0 və ya cnan> cn+1an+1 (3)
Buradan alınır ki, cnan monoton azalır və sonlu limiti var. (Belə ki, o, aşağıdan sıfır ilə məhduddur.)

Beləliklə cnan – cn+1an+1 ) sırası da yığılandır.Və onun birinci n həddinin cəmi c1a1 - cn+1an+1 –in sonlu limiti var. Onda (3) bərabərsizliyindən istifadə edib müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremə əsaslansaq isbat aydın olar. yəni an+1 sırası yığılır, onda (A) sırası da yığılandır. Əgər n>N üçün


Kn = cn - cn+1 (4)
şərti ödənərsə onda aşağıdakı bərabərsizlik doğru olar.
cn (5)
Onda (5) bərabərsizliyindən istifadə edib müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 3-cü teoremə əsaslansaq deyə bilərik ki, sırası dağılandır. Bu isə (A) sırasının dağılan olması deməkdir. Teorem isbat olundu.
Kummer əlamətinin limit variantı.
Tutaq ki, Kn variantının sonlu və ya sonsuz limiti var.
limKn = K
Onda K0 olarsa sıra yığılan, K olarsa sıra dağılandır. İndi isə Kummer əlamətinin köməyilə bir sıra vacib yığılma əlamətinə baxaq.

a). Tutaq ki, cn = 1. Şərt budur ki, sırası dağılsın. Onda Kn = - 1. Burda - ni Dn ilə işarə edək. Onda Kn = - 1.

Əgər limDn = D olsa onda limKn = K = - 1. Əgər D = 0 olsa onda K = +∞, əgər D = +∞ olsa onda K = -1 olacaq. D>1 olduqda aydındır ki, K<0, onda Kummer əlamətinə görə sıra dağılır. Əgər D<1 olsa onda K>0 və sıra yığılır.

b). Tutaq ki, cn = n və şərt budur ki, sırası dağılır. Onda


Kn = n - (n+1) = Rn – 1 n - n = Rn
Əgər limRn = R olsa onda limKn = K = R – 1. Əgər R = ∞ onda K = ∞. R>1 olsa onda K>0, onda Kummer əlamətinə görə sıra yığılır. R<1 olsa onda K<0 onda sıra dağılır.

c). Tutaq ki, cn = nlnn (n, şərt budur ki, dağılsın. Onda


Kn = nlnn - (n+1)ln(n+1).
Sonuncunu aşağıdakı variantda yazaq.
Kn = lnn - ln(1+)n+1 = Bn - ln(1+)n+1.
Bn = lnn = lnn(Rn-1).
Tutaq ki, Bn –nin sonlu və ya sonsuz limiti var. Yəni
lim Bn = B (1)
Onda B>1 olarsa sıra yığılır,B<1 olsa sıra dağılır. Doğrudanda
limln(1+n+1 = loge = 1.
Onda Kummerə görə limKn = K =B-1. Əgər B = ∞ onda K = ∞. Buradan isə Kummer əlamətinə istinad etsək isbat aydın olar.

Qeyd edək ki, (1) bərabərliyinə Bertran əlaməti deyilir.



Plan

  1. Giriş.

  2. Sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı.

  3. Sıranın yığılması üçün zəruri və kafi şərt.

  4. Müsbət hədli sıralar.

  5. Müqayisə teoremləri.

  6. Kummer əlaməti

  7. Kummer əlamətinin limit variantı.


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə