Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ




Yüklə 170.62 Kb.
tarix14.04.2016
ölçüsü170.62 Kb.


BAKI DÖVLƏT UNİVERSİTETİ

TƏTBİQİ RİYAZİYYAT VƏ KİBERNETİKA FAKULTƏSİ
« Əməliyyatlar tədqiqi və riyazi modelləşdirmə » kafedrası
IV kurs Informatika-11 qrup tələbəsi

Cəbrayıllı Bəhruz Nurəddin oğlunun





Mövzusundan


KURS İŞİ

ELMİ RƏHBƏR – Həmidov R.

KAFEDRA MÜDİRİ – Allahverdiyev C.

BAKI 2008

Mündəricat
Giriş .............................................................................................................3
I Fəsil. Ehtimal nəzəriyysinin bəzi elementləri
§1. Riyazi gözləmə, Dispersiya ....................................................................4

§2. Gizli ehtimalın qiymətinin dəqiqliyi, gizli interval …..........……….….4

§3. Normal paylama .....................................................................................5
II Fəsil. Monte-Karlo üsulu
§1. Monte-Karlo üsulunun ümumi sxemi ....................................................5

§2. Monte-Karlo üsulunun qiymətləndirmə xətası ......................................6


III Fəsil. Monte-Karlo üsulu ilə inteqralın hesablanması
§1. 2-ci növ inteqral tənlik üçün Monte-Karlo üsulunun alqoritmi..............8

§2. İnteqralaltı funksiyanın orta qiymətinin hesablanma üsulu....................9

§3. İstifadə olunan “köməkçi sıxlıq paylamalar”ının zəruri seçmə

üsulu ....................................................................................................12

§4. Sahəsinə görə inteqralı açma üsulu ......................................................14

§5. Baş hissəni ayırma üsulu ......................................................................16

§6. Müəyyən inteqralın Monte-Karlo üsulu ilə hesablanmasının

proqramı ..............................................................................................17

§7. Çoxqat inteqralların Monte-Karlo üsulu ilə həlli .................................19
Nəticə .........................................................................................................21
Əlavə ..........................................................................................................21
Ədəbiyyat ..................................................................................................22

Giriş
Monte-Karlo üsulu, təsadüfi kəmiyyətin modelləşdirilməsini, onların xarakteristik bölgüsünün hesablanmasını təyin edir. Təsadüfi hadisənin təxmini hesablamalar sahəsində istifadə olunması ideyalarının yaranması 1878-ci ilə təsadüf edir, hansı ki, bu vaxtlar Xoll tərfindən, paralel xətlər cızılmış vərəqə təsadüfi atılmış iynələrin köməyilə p ədədinin təyin olunması ideyası yaranıb. İşin mahiyyəti, təcrübi olaraq hadisəni canlandırmaq, ehtimalı p ədədi vasitəsilə ifadə etmək və bu ehtimalı təqribi qiymətləndirməkdir.

Ümumiyyətlə, Monte-Karlo üsulunun əsası 1955-1956-cı illərdə meydana gəlmişdir. O vaxtdan bəri Monte-Karlo üsuluna aid geniş ədəbiyyat toplanmışdır. Hətta deyilən bu üsula gözucu nəzər saldıqda, belə nəticə çıxarmaq olar ki, Monte-Karlo üsulu elm və texnika sahəsində yüksək qiymətli tətbiqi məsələlərin həllində istifadə oluna bilər.

Əvvəlcə Monte-Karlo üsulu başlıca olaraq neytron fizikası məsələlərinin həlli üçün istifadə olunub, hansı ki, ənənəvi hesablama üsulları az işə yarayır. Sonradan onun nüfuzu statistik fizikanın yüksək mərtəbəli məsələləri üçün yayılmışdır. Bu üsul öz tutumuna görə çox müxtəlifdir.

Monte-Karlo üsulu hesablama riyaziyyatının üsullarının(məsələn, hesabi inteqrallama üsulunun) inkişafında əhəmiyyətli dərəcədə təsirini göstərib və göstərməyə davam edir, bir çox məsələnin həlli zamanı uğurla digər hesablama üsullarına uyğunlaşır və onları təkmilləşdirir. Bu üsul birinci növbədə ehtimal nəzəriyyəsi məsələlərinin təsvirinə tətbiq olunur. Bu, izah edir ki, ehtimallıq daşıyan məsələlər arasından doğru cavabın bəzi əvvəlcədən verilmiş ehtimallar içərisindən seçilməsi, əhəmiyyətli sadələşdirmə prosedurlarının həllidir.

I Fəsil. Ehtimal nəzəriyysinin bəzi elementləri
§1. Riyazi gözləmə, Dispersiya

Təsadüfi kəmiyyət diskret adlandırılır, o vaxt ki, o, aşkar ehtimalla ayrı-ayrı, təcrid olunmuş mümkün qiymətli olsun. Diskret təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətli ədədi, sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi onun bütün mümkün qiymətlərinin hasilləri cəminə bərabardir:

Burada X – təsadüfi kəmiyyət, , - uyğun ehtimallarının

qiymətləridir.

Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi, onun təxminən hesabi sınanmış orta qiymətinə bərabərdir(nə qədər çox sınaqdan keçirilsə, o qədər dəqiq olar).

Təsadüfi kəmiyyyətin dispersiyası (səpilməsi), təsadüfi kəmiyyətlə onun riyazi gözləməsinin fərqinin riyazi gözləməsi kvadratına bərabərdir:

X təsadüfi kəmiyyətinin orta kvadratik fərqi, dispersiyanın kvadrat kökünə bərabərdir:


§2. Gizli ehtimalın qiymətinin dəqiqliyi, etibarlı interval.

Qiymət səpələnmiş adlanır, o vaxt ki, o, bir ədədi təyin etmiş olsun.

Qiymət intervallanan adlanır, o vaxt ki, o, iki intervalın sonunda 2 ədədi təyin etmiş olsun. İntervallanan qiymət ədədin dəqiqliyini və etibarlılığını müəyyən etməyə imkan verir.

Verilən nümunələrlə tapılan -un statistik xarakteristikası, naməlum parametrinin qiymətini təmin edir. Aydındır ki, , -ni nə qədər dəqiq təyin edərsə, fərqi o qədər kiçik olar. Başqa sözlə, əgər d>0 və , onda d nə qədər kiçik olarsa, qiymət bir o qədər dəqiq olar.

d müsbət ədədi qiymətin dəqiqliyini xarakterizə edir.

ilə -un qiymətinin etibarlılığı g ehtimalı adlanır, o vaxt ki, bərabərsizliyi ödənsin. intervalı etibarlı adlanır, o vaxt ki, naməlum parametr, g dəqiqliyi ilə verilmiş olsun.
§3. Normal paylama.

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin ehtimalının paylaması onda normal adlanır ki, o,



diferensial funksiyasını təsvir etsin. a– riyazi gözləmə, s – normal paylanmanın orta kvadratik uzaqlaşmasıdır.



II Fəsil. Monte-Karlo üsulu

§1. Monte-Karlo üsulunun ümumi sxemi.

Monte-Karlo üsulunun mahiyyəti aşağıdakılardan ibarətdir: Müəyyən qədər tədqiq edilmiş kəmiyyətin qiymətini tapmaq tələb olunur. Bunun üçün elə X təsadüfi kəmiyyəti götürülür ki, bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi a ədədinə bərabər olsun:

M(X)=a

Praktiki cəhətdən isə bu, belə baş verir: n dənə sınaq aparılır və nəticədə X təsadüfi kəmiyyəti, n dənə mümkün qiymət alır ; onların cəbri ortası hesablanır və qəbul olunur ki, a axtarılan ədədinin a* qiyməti kimi x götürülür:



Monte-Karlo üsulu, böyük ədədlərlə sınaq həyata keçirməyi tələb etdiyindən, onu çox vaxt statistik sınaq üsulu da adlandırırlar. Bu üsulun nəzəriyyəsi göstərir ki, X təsadüfi kəmiyyətini çox məqsədəuyğun seçməklə onun mümkün qiymətini necə tapmaq olar. Xüsusilə, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasının azaldılması üsulundan istifadə olunur və nəticədə axtarılan a riyazi gözləməsi onun qiyməti a* ilə əvəz olunduqda əlbəttə yol verilən səhvlərin sayı azalır.


§2. Monte-Karlo üsulunun qiymətləndirmə xətası.

Tutaq ki, X təsadüfi kəmiyyətinin a riyazi gözləməsinin a* qiymətini almaq üçün n asılı olmayan sınaq aparılmışdır. Bu baxılanlara əsasən a*-un axtarılan qiyməti olaraq şərtini ödəyən götürülür. Aydındır ki, bu sınaq təkrar aparılarsa, X təsadüfi kəmiyyətinin digər mümkün qiymətləri alınar, buna görə də a* üçün başqa qiymət, başqa orta qiymət alınar. Burdan belə nəticə çıxır ki, riyazi gözləmənin dəqiq qiymətini almaq mümkün deyil. Təbii olaraq kəmiyyətin yol verilən xətası barədə sual yaranır. Yalnız yuxarı sərhəddin yol verilən  xətayla verilimiş ehtimalı ilə axtarışı məhdudlaşdırılır :



Bizi maraqlandıran, seçilmiş riyazi gözləmənin  xətasının “qiymətinin dəqiqliyi”nin yuxarı sərhəddin məlum intervalın seçilmiş ortasının köməyilə tapılmasıdır.

Növbəti 3 hala baxaq:


  1. X təsadüfi kəmiyyəti normal paylanıb və onun orta kvadratik uzaqlaşması məlumdur.

, (*)

Harda ki, n sınaq aparılıb(sınağın nəticəsi X); t-Laplas funksiyasının arqumentidir, hansı ki, Laplas funksiyası: ; - X-in orta kvadratik uzaqlaşmasıdır.



  1. X təsadüfi kəmiyyəti normal paylanıb, lakin onun orta kvadratik uzaqlaşması- məlum deyil. Bu halda yuxarı sərhəddinin xətası

, (**)

Harada ki, n - sınaqların sayı, s - “yaxşılaşdırılmış” orta kvadratik uzaqlaşmadır.



  1. X təsadüfi kəmiyyəti normaldan yaxşıya doğru paylanıb.

Bu halda sınağın kifayət qədər böyük qiymətlərində(n>30), hökmən X təsadüfi kəmiyyətinin  orta kvadratik uzaqlaşması məlumdursa, onda xətanın təxminən -yə bərabər olan yuxarı sərhəddi (*) düsturu ilə hesablanılır, əgər  naməlum olarsa, onda ya (*) düsturunda onun qiyməti ilə s-“düzəldilmiş” orta kvadratik uzaqlaşması əvəz olunur, ya da (**) düsturu ilə hesablanır. Qeyd edək ki, n nə qədər böyük olarsa, hər 2 düsturda nəticələr arasındakı fərq də bir o qədər az olar. Bu, onu göstərir ki, halında tələbələr arasında bölgü normallığa doğru yönəlir.

Deyilənlərə əsasən belə nəticə hasil olur: Monte-Karlo üsulu ehtimal nəzəriyyəsinin, hesablama riyaziyyatının və riyazi statistikanın məsələləri ilə sıx bağlıdır. Təsadüfi kəmiyyətin modelləşdirmə məsələləri ilə əlaqəsi (xüsusilə müntəzəm bölgüdə) əhəmiyyətli rol oynayır, həm də ədədi üsullar nəzəriyyəsində əhəmiyyətli rol oynayır.

Digər hesablama üsulları arasında, Monte-Karlo üsulu öz sadəliyi və konkretliyi ilə

fərqlənir. Monte-Karlo üsulunun çatışmayan cəhəti, yaxınlaşmanın zəif aparılmasıdır, lakin, ola bilsin ki, bu, onun modifikasiyasına işarədir.



III Fəsil. Monte-Karlo üsulu ilə inteqralın hesablanması

§1. 2-ci növ inteqral tənlik üçün Monte-Karlo üsulunun alqoritmi.
Tutaq ki, aşağıdakı xətti funksiyanı hesablamaq lazımdır:

,

Harada ki, kimi təyin olunur. Eyni zamanda K inteqral operatorunun nüvəsi şərtini ödəməsi, Neyman sırasının yığılmasını təmin edir. Markov sırası başlanğıc sıxlığı və keçid sıxlığı ilə təyin olunur.



nöqtəsində sıranın dağılmasının ehtimalı :

düsturu ilə hesablanır. N – təsadüfi nömrənin son vəziyyətidir. Daha sonra riyazi gözləməsi olan sıranın trayektoriyasının funksionalı təyin olunur. Çox vaxt ancaq təsadüf etmənin qiyməti deyilən



Düsturundan istifadə olunur, harada ki,



,

Əgər şərtindən şərtindən

ödənərsə, onda bəzi əlavə şərtlər qoyulur:

Dəyişməz hallarda az dispersiyanın müvəffəqiyyətinin vacibliyi növbəti fikri göstərir, əgər şərtilə



ödənərsə, onda , amma .

Uyğun Markov sırası EHM-də modelləşdirilir və nəticdə ikinci dərəcəli inteqral tənliklərin həllində xətti funksionalın statistik nəticəsi alınır. Bu, əsas təsvirdə lokal qiymətin həllini belə tapmağa imkan verir :



harada ki, . Monte-Karlo üsulunda inteqral operatorun ilkin həqiqi dəyərinin qiyməti interasional üsulla



əsas münasibətində yerinə yetirilir. Bütün baxılan nəticələr demək olar ki, avtomatik olaraq, xətti cəbri tənliklər sisteminin formasına inikas olunur. Diferensial tənliklərin həlli Monte-Karlo üsulu ilə müvafiq inteqral münasibətlərin bazasında yerinə yetirilir.



§2. İnteqralaltı funksiyanın orta qiymətinin hesablanma üsulu.

Müəyyən inteqralının qiyməti olaraq aşağıdakı götürülür:



Bu düsturda; n – sınağın sayı, – X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiyməti, (a,b) inteqrallama intervalında müntəzəm bölünüb, hansı ki, onlar düsturunda iştirak edir, - təsadüfi ədəddir.



orta qiymət funksiyasının dispersiyası aşağıdakı düsturla təyin olunur:

burada aşağıdakı ifadələr doğrudur:



,
Əgər dispersiyanın dəqiq qiymətini tapmaq çətin və ya qeyri-mümkün olarsa, onda ya

(n>30 halında) seçilmiş dispersiyası ya da yaxşılaşdırılmış



dispersiyası (n>30 halında) hesablanır, burada nəzərə alınıb.

Bu düsturlar dispersiyanın hesablanmasında və digər inteqrallama üsullarında, orta qiymət funksiyası Inteqralaltı funksiyası ilə üst-üstə düşməyəndə tətbiq olunur.

inteqralının qiyməti olaraq, hansı ki, D inteqrallama oblastı nadir kvadrata , mənsubdur, aşağıdakı qəbul olunur:

, (*)

burada S – inteqrallama oblastının sahəsi və N – təsadüfi nöqtəsinin qiyməti,inteqrallama oblastına mənsubdur.

Əgər S sahəsinin hesablanması çətin olarsa, onda onun qiyməti olaraq ifadəsini götürmək olar; Bu halda (*) düsturu aşağıdakı formaya düşəcək:

,

burada n – aparılan sınağın sayıdır.



inteqralının qiyməti olaraq, hansı ki, V inteqrallama oblastı vahid kuba , , məxsusdur, ağıdakı götürülür:

, (**)

burada V – inteqrallama oblastının həcmi və N – təsadüfi nöqtəsinin qiyməti, inteqrallama oblastına mənsubdur.

Əgər həcmin hesablanması çətinləşərsə, onda onun qiyməti olaraq ifadəsini götürmək olar. Bu halda (**) düsturu belə şəklə düşər:

,

burada n – aparılan sınağın sayıdır.

Məsələ: müəyyən inteqralının qiymətini hesablamalı.

Həlli: düsturundan istifadə edirik. Şərtə görə, a=1, b=3,.

Sadəlik üçün fərz edək ki, aparılan sınaqların sayı 10-dur(n=10). Onda qiymət

,

hansı ki, -nin mümkün qiyməti aşağıdakı düsturla hesablanır:



Aparılan 10 sınağın nəticəsi aşağıda Cədvəl1-də verilib. təsadüfi nömrəsi cədvəldən götürülür:


Cədvəl 1.

i nömrəsi







1

2

3



4

5

6



7

8

9



10

0,100

0,973


0,253

0,376


0,520

0,135


0,863

0,467


0,354

0,876


1,200

2,946


1,506

1,752


2,040

1,270


2,726

1,934


1,708

2,752


2,200

3,946


2,506

2,752


3,040

2,270


3,726

2,934


2,708

3,752


Cədvəl1-dən alınır ki, . Axtarılan qiymət:
§3. İstifadə olunan “köməkçi sıxlıq paylamalar”ının zəruri seçmə üsulu.

inteqralının qiyməti olaraq, götürək(n-sınaqların sayı).

f(x) – X “köməkçi” təsadüfi kəmiyyətinin paylanma sıxlığıdır, belə ki, ;

- X-in mümkün qiymətidir, hansı ki, düsturunda iştirak edir.

f(x) funksiyasını belə seçmək yaxşı olar ki, münasibəti x-in müxtəlif qiymətlərində əhəmiyyətsiz dərəcədə dəyişsin. Məsələn, əgər verilibsə, onda nəticə belə olar:

Məsələ: inteqralının qiyməyini tapın:

Həlli: , onda “köməkçi” X təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının sıxlığı kimi fərz edək ki, funksiya belədir: . Şərtə görə olduğundan tapırıq ki, . Beləliklə, .

Axtarılan inteqralı belə yazaq:



Deməli, I inteqralı, funksiyasının riyazi gözləməsi şəklində verilir. Axtarılan qiymət olaraq fərz edək ki, seçilmiş orta(sadəlik üçün 10 sınaqla kifayətlənəcəyik):



kimidir, burada - X-in mümkün qiymətləridir, hansı ki, məlum sıxlığı üçün işlətmək lazımdır. Şərtə əsasən, alırıq. Deyilənlərdən alırıq ki, X mümkün qiymətinin işlədilməsi üçün açıq düstur alınır:

Cədəv2-də aparılan 10 sınağın nəticəsi əks olunub. Burada son sətirdəki qiymətləri toplamaqla alırıq. Axtarılan qiymət :

Cədvəl 2.

i nömrəsi











1

2

3



4

5

6



7

8

9



10

0,100

0,973


0,253

0,376


0,520

0,135


0,863

0,467


0,354

0,876


0,140

0,980


0,326

0,459


0,600

0,185


0,894

0,550


0,436

0,905


1,150

2,664


1,385

1,582


1,822

1,203


2,445

1,733


1,546

2,472


1,140

1,980


1,326

1,459


1,600

1,185


1,894

1,550


1,436

1,905


1,009

1,345


1,044

1,084


1,139

1,015


1,291

1,118


1,077

1,298



§4. Sahəsinə görə inteqralı açma üsulu.

Fərz edək ki, Inteqralaltı funksiyası mənfi olmayan və məhdud funksiyadır:



, lakin ikiölçülü (X,Y) təsadüfi kəmiyyəti, oturacağı (b-a), hündürlüyü c olan D düzbucaqlıda bərabərölçülü hissələrə bölünmüşdür. Onda D-yə daxul olan nöqtələr üçün ehtimalın ikiölçülü sıxlığı düsturu ilə təyin olunur, isə D-yə daxil deyil.

inteqralının qiyməti kimi götürək, burada n - təsadüfi nöqtələrinin ümümi sayı D-dəndir, - təsadüfi nöqtənin qiymətidir, hansı ki,

əyrisindəndir.

Məsələ: inteqralının qiymətini tapın.

Həlli: düsturundan istifadə edək. (0,2) intervalında Inteqralaltı funksiyası müsbət və məhduddur(). Bu səbəbdən c=4 götürmək olar.

Oturacağı b-a=2-0=2 , hündürlüyü c=4 olan D düzbucaqlısında bərabərölçülü bölünmüş ikiölçülü (X,Y) təsadüfi kəmiyyətinə nəzər saldıqda görürük ki, bu təsadüfi kəmiyyətin ehtimalının sıxlığı düsturu ilə hesablanır. D düzbucaqlısından olan n=10 təsadüfi nöqtəsi götürək. Diqqət yetirsək görərik ki, düzəldilmiş X, (0,2) parçasında sıxlığı ilə bərabər hissələrə və düzəldilmiş Y, (0,4) parçasında sıxlığı ilə bərabər hissələrə bölünüb. təsadüfi nöqtəsinin koordinatlarını bölünmüş D düzbucaqlısından götürürük. Anoloji olaraq asılı olmayan təsadüfi ədədini belə ifadə edirik: , . Burdan alınır ki, ,



Cədvəl 3

i nömrəsi















1

2

3



4

5

6



7

8

9



10

0,100

0,253


0,520

0,863


0,354

0,809


0,911

0,542


0,056

0,474


0,200

0,506


1,040

1,726


0,708

1,618


1,822

1,084


0,112

0,948


0,040

0,256


1,082

2,979


0,501

2,618


3,320

1,175


0,013

0,899


3,960

3,744


2,918

1,021


3,499

1,382


0,680

2,825


3,987

3,101


0,973

0,376


,135

0,467


0,876

0,590


0,737

0,048


0,489

0,296


3,892

1,504


0,540

1,868


3,504

2,360


2,948

0,192


1,956

1,184


1

1

1



1

1

1



Əgər ödənsə, onda nöqtəsi əyrisinin daxilində qalır və “ hesablayıcısı” nda vahid əlavə etmək lazımdır.

10 sınağın nəticəsi Cədvəl3-də verilmişdir. Bu cədvələ yerləşir. Onda inteqralın axtarılan qiyməti: kimi olur.


§5. Baş hissəni ayırma üsulu.

inteqralının qiyməti kimi aşağıdakını götürək:

Burada - X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiyməti, (a,b) inteqrallama intervalında bərabər hissələrə bölünmüşdür, hansı ki, o, düsturu ilə hesablanır ; funksiyası və onunla bağlı inteqralı adi üsullarla hesablana bilərlər.



Məsələ: inteqralının qiymətini tapın.

Həlli: , onda fərz edək ki, . Onda, aparılan n=10 sınaqda axtarılan ədədin qiyməti belə olar:

Sadə dəyişikliklər aparmaqla, alırıq ki,



Belə nəticəyə gəlirik ki, a=0 və b=1 halında 0nin mümkün qiyməti belə olar: . Hesablamarın nəticələri Cədvəl4-də verilmişdir:



Cədvəl 4.

i nömrəsi











1

2

3



4

5

6



7

8

9



10

0,100

0,973


0,253

0,376


0,520

0,135


0,863

0,467


0,354

0,876


0,010

0,947


0,064

0,141


0,270

0,018


0,745

0,218


0,125

0,767


1,010

1,947


1,064

1,141


1,270

1,018


1,745

1,218


1,125

1,767


1,005

1,395


1,032

1,068


1,127

1,009


1,321

1,104


1,061

1,329


2,000

1,843


2,000

1,995


1,984

2,000


1,897

1,990


1,997

1,891

Cədvəl4-dəki axırıncı sütundakı qiymətlərin cəmindən alınan 19,597 ədədini münasibətində nəzərə aldıqda inteqralın axtarılan qiyməti üçün aşağıdakını alırıq:

Buradan da alırıq ki, dəqiq qiymət, I=1,147 – dir.



§6. Müəyyən inteqralın Monte-Karlo üsulu ilə hesablanmasının proqramı.
müəyyən inteqralını Monte-Karlo üsulunun köməyilə

düsturu vasitəsilə hesablayaq, burada n – sənaqların sayı, g(x) – X “köməkçi” təsadüfi kəmiyyətinin sıxlığının paylanmasıdır, hansı ki, proqramda g(x)=1/(b-a) götürülür. Bu inteqralın hesablanmasının proqramı aşağıdakı kimidir:



Proqram, TURBO PASCAL 7.0 dilində yazılıb.

Program monkar;

Uses crt;

Var k,p,s,g,x,Integral : real;

n,i,a,b : integer;

BEGIN


Writeln (‘(a; b) İnteqrallama aralığını daxil edin :’);

readln(a);

readln(b);

Writeln (‘Təsadüfi qiymətin sayını daxil edin (yoxlanılmış ədəd) :’);

Readln (n);

k: =b-a;

Writeln (‘k=’, k);

For i: = 1 to n do begin // n dəfə test edilir.

g: =random; // g – dəyişən həqiqi tip, təsadüfi kəmiyyət [0; 1] aralığında qiymətlər alır

x:= a + g*(b-a); // Bu düsturda [a; b] aralığından olan sərbəst kəmiyyət alınır.

s:=s + (1+x); //s:=s +(x*x) // istənilən funksiya ilə əvəz etmək olar

Delay (1000); //sərbəst dəyişənlərin təkrarlanmaması üçün ləngimə

End; //Dövrün sonu

writeln (‘s=’, s); //n sərbəst dəyişən üçün cəm funksiyası

Integral :=( 1/n)*k*s;

Writeln (‘İnteqral=’, Integral);

Readln;

END.
Burada inteqrallama aralığını və sınağın sayını daxil etmək lazım gəlir, inteqrallama funksiyası artıq proqramda verilib(amma onu dəyişdirmək də olar):



;

Funksiya

k

N=10

N=100

N=500

N=1000

f(x)=1+x

2

5.737

5.9702

6.02

5.99

f(x)=x*x

3

9.6775

8.528

8.7463

8.937


§7. Çoxqat inteqralların Monte-Karlo üsulu ilə həlli.

Tutaq ki, funksiyası S qapalı məhdud çoxluğunda kəsilməzdir və aşağıdakı kimi m-qat inteqralı hesablamaq lazımdır:



. (1)

I həndəsi ədədi özünü, fəzasında m+1 ölçülü slindiroidin həcmi kimi göstərir. Verilən səthi S oturacağında qurulub və yuxarıdan məhduddur, harada ki,

(1) inteqralında elə dəyişiklik edirik ki, inteqrallamanın yeni oblastı, yeganə m ölçülü kubu tamamilə daxilində saxlasın. Tutaq ki, S oblatı m ölçülü paralelopipedin daxilində yerləşir:



(2)

(3)

əvəzləməsi aparaq. Onda görünür ki, m ölçülü (2) paralelopipedi yeganə m ölçülü kuba çevrilir



(4)

və buna görə də, yeni yaranan və adi qaydada yerləşən σ inteqrallama oblastı tamamilə bu kubun daxilinə yerləşəcək.

Yakobyanı hesablasaq, alınan nəticə belə olacaq:

Beləliklə alırıq ki, (5)

harada ki,

, əvəzləməsi daxil etdikdən sonra (5) düsturunu qısa şəkildə belə yazırıq:

. (5/)

Təsadüfi sınaqlar metodu ilə (5/) inteqralının hesablanması üsulunu araşdıraq.

[0,1] parçasında m bərabər hissəyə bölünmüş ardıcıl təsadüfi ədəd götürək:



nöqtələrinə təsadüfi də baxmaq olar. Kifayət qədər böyük N dənə nöqtəsi seçdikdən sonra, onlardan hansının σ oblastına daxil olduğunu(birinci kateqoriyaya görə), hansınınsa σ oblastına daxil olmadığını (ikinci kateqoriyaya görə) yoxlayırıq. Fərz edək ki,

1. ,i=1, 2, …, n (6)

2. ,i=n+1, n+2, …,N (6/)

(asanlıq üçün burada nötələri nömrələyirik)

Fikir vermək lazımdır ki, nisbətən σ oblastının Г sərhəddi razılaşmaya görə sərhəd nöqtəsi hesab edilirmi və ya onların bir hissəsi σ oblastındadır ya da hesab edilmir. Ümumi halda, Г sərhəddinin hamar olması mühüm məna kəsb etmir, ayrı-ayrı hallarda konkret şərtlərə görə suala cavab tapmaq lazımdır.

n-dən kifayət qədər böyük nöqtələri götürməklə, təxmini olaraq



ifadəsini təyin etmək olar. Bu deyilənlərdən axtarılan inteqral



düsturu ilə ifadə olunur, hansı ki, σ olaraq m ölçülü σ inteqrallama oblastının həcmi başa düşülür. Əgər σ-nın həcminin hesablanması çətin olarsa, onda əvəzləməsini aparsaq, alarıq ki, . Xüsusi halda, əgər σ, yeganə kub olarsa, yoxlama həddən artıq uzun gedir, amma n=N halında isə aşağıdakı kimi hesablanır:




Nəticə

Monte-Karlo üsulu çox sıx istifadə olunan bir üsuldur, hərdən qüsursuz, hərdənsə qeyri-effektiv şəkildə istifadə olunur. Bu üsul bəzi aşağıdakı üstünlüklərə malikdir:



  1. O, kvadratik inteqrallamadan savayı, müntəzəmlik barədə heç bir tələb irəli sürmür. Bu, sərfəli ola bilər, tez-tez çox mürəkkəb funksiyanın müntəzəm bəzi xassələri çətinliklə müəyyən olunur.

  2. Ədədi inteqrasiya münasib olmayan halda, o, hətta çoxölçülü halda, yerinə yetirilə bilən proseduraya gətirilir. Məsələn, ölçülərin sayı 10-dan böyük olduqda.

  3. Onu asanlıqla, az məhdudiyyətli və ya əvvəlcədən analiz edilməmiş məsələlərə tətbiq edirlər.

Lakin Monte-Karlo üsulunun bəzi çatışmayan cəhəti var:

    • Xətanın dərəcəsi tam dəqiqliklə müəyyən edilmir, lakin bu, həqiqətən çox çətindir.

    • Dəyişməz(statik) xətalar çox gec aradan qaldırılır.

    • Təsadüfi ədədlərə ehtiyac duyulur .


Əlavə

Bərabər ölçüdə bölünmüş təsadüfi ədəd:

10 09 73 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 76 80 95 90 9117

37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02

08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64

99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 67 43 97

12 80 79 99 70 80 15 73 61 47 64 03 23 66 53 98 95 11 68 77

66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85

31 06 01 08 05 45 57 18 24 06 35 30 34 26 14 86 79 90 74 39

85 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 66 57 48 18 73 05 38 52 47

63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 35 75 48 28 46 82 87 09

73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44
Ədəbiyyat

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. школа, 1979г.

  2. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971г.

  3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.:Наука,1982г.

  4. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия,1999г.

  5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə