A dil Əliyev – İnf – 11, Furye sıraları




Yüklə 49.9 Kb.
tarix22.04.2016
ölçüsü49.9 Kb.



A dil Əliyev – İNF – 11, Furye sıraları

Furye sıraları



Periodik kəmiyyət və harmonik analiz
Elm və texnikada tez-tez periodik hadisələrə rast gəlinir, belə ki, period adlanan müəyyən T zaman fasiləsindən sonra əvvəlki vəziyyətə qayıdılması ilə müəyyənləşdirilir. Buna misal olaraq buxar maşınının hərəkətini göstərmək olar. Bu zaman məlum dövrlərin sayından sonra yenə əvvəlki vəziyyətə qayıdılır, dəyişən cərəyan yaranır və s. Baxılan periodik hadisələrlə əlaqəli müxtəlif kəmiyyətlər T periodundan sonra əvvəlki qiymətini alır, uyğun olaraq, t –dən asılı periodik funksiya aşağıdakı bərabərliklə müəyyən edilir:

.
Belə ki, dəyişən cərəyanın güc və gərginliyi və ya – buxar maşını misalında – kreys-kopfun yol, sürət və təcili, buxarın təzyiqi, krivoşip barmağının toxunma ğücü və s.

Ən sadə periodik funksiya ( əgər sabit hesab etməsək) sinusoid kəmiyyətidir: A sin(ωt + α),

burada ω tezlikdir, T periodundan asılıdır və aşağıdakı münasibətlə ifadə olunur:

. (1)

Bu cür sadə periodik funksiyalardan daha mürəkkəblərini qurmaq olar. Əvvəlcədən məlumdur ki, sinusoidal kəmiyyətlər müxtəlif tezliklərdə ola bilər, çünki asanlıqla inanmaq olar ki, eyni tezlikdən olan sinusoidal kəmiyyətlərin toplanması elə həmin tezlikdə olacaq. Bu isə bizə heç nə vermir. Əksinə aşağıdakı şəkildə verilən kəmiyyətlərin toplanması


(2)
əgər sabit hesab etməsək, tezlikləri ω, 2ω, 3ω , bunların ən kiçik bölünənləri ω, periodları isə

olarsa, periodik funksiya (T-dən asılı) alarıq, bu isə (2) tipli kəmiyyətdən əsaslı fərqlidir.

Misal üçün burada (şəkil) üç sinusoidal kəmiyyətin cəminə baxaq:



;
Bu funksiyanın qrafiki öz xarakterinə görə sinusoiddən ciddi fərqlənir. Daha böyük dərəcələrdə bu (2) tipli kəmiyyətlərdən ibarət sonsuz sıraların cəmi olar.

Əks məsələyə baxaq: verilmiş T periodlu φ(t) periodik funksiyasını (2) tipli sinusoidal kəmiyyətlərin sonlu və ya heç olmazsa sonsuz çoxluqlarınin cəmi şəklində göstərmək olarmı?

Aşağıda görəcəyik ki, əgər bütün (2) tipli sonsuz kəmiyyətlər ardıcıllığını qəbul etcək, daha geniş funksiyalar sinfi üçün bu suala qəti cavab vermək olar.
Bu sinif funksiyalar üçün

troqonometrik sıraların ayrılışını göstərmək olar:

(3)
Burada , hər bir funksiya üçün xüsusi qiymətləri olan sabitlərdir, ω tezliyi isə (1) düsturu ilə verilir.

Həndəsi yolla izahı o deməkdir ki, periodik funksiyanın qrafiki , sinusoid sıralarının üst-üstə yerləşdirilməsindən alınır. Hər bir sinusoidal kəmiyyəti mexaniki harmonik rəqslərin hərəkəti kimi izah etsək, onda demək olar ki, burada φ(t) funksiyası ilə xarakterizə olunan mürəkkəb rəqslər ayrı-ayrı harmonik rəqslərə ayrılır.

Bununla əlaqədar olaraq, (3) ayrılışına daxil olan hər bir sinusoidal kəmiyyətləri φ(t) funksiyalarından ibarət harmonik və ya sadəcə olaraq onun harmonikası (birinci, ikinci və s.)

adlandırırlar. Periodik funksiyaların harmonikalara ayrılışı prosesi harmonik analiz adlanır.

Əgər asılı olmayan dəyişən kimi

götürsək, onda x-dən asılı belə bir funksiya alarıq:

.

Bu funksiya 2π periodu ilə periodik funksiyadır. Onda (3) ayrılışı belə olar:



(4)
Bu sıranın hədlərini çeviribsinusun cəmləri düsturunu tətbiq etsək



(n= 1,2,3, ...),
Aşağıdakı triqonometrik ayrılışı alarıq:
(5)

Buradakı x bucaöından asılı, 2π periodlu funksiya x-ə bölünən sinus və kosinus bucaqlarını ayrılışlarıdır.


Əmsalların Eyler-Furye metodu ilə təyini
2π periodlu funksiyasının triqonometrik ayrılışını qurmaq üçün

əmsallarını əsaslandırmaq lazımdır. Bu əmsalların tapılma qaydasını XVIII əsrin ikinci yarısında



Eyler və ondan asılı olmayaraq XIX əsrin əvvəlində Furye vermişdir.

Tutaq ki, xüsusi və qeyri xüsusi mənada funksiyası aralığında inteqrallanandır; nəhayət funksiya mütləq inteqrallanandır. (5) ayrılışını –π –dən π-yə qədər hissə-hissə inteqrallasaq, aşağıdakını alarıq:


.
Asanlıqla görmək olar ki,
(6)

Cəm işarəsi altında olan bütün hədlər sıfra bərabərdir.Beləliklə aşağıdakı bərabərliyi alırıq:


(7)
əmsalının qiymətini tapmaq üçün (5) bərabərliyinin hər iki tərəfini cos mx-ə vurub sonra

həmin aralıqda hissə-hissə inteqrallasaq, aşağıdakını alarıq :



Birinci hədd (6) şəkilli silinir. Sonra alırıq:
(8)

(9)
Burada , nəhayət

(10)

Beləliklə, surətdə əmsalı olan inteqrallardan başqa cəm işarəsi altında olan bütün inteqrallar sıfra çevrilir . Buradan da həmin əmsal tapılır:


(m=1,2,3,...). (11)
Anoloji olaraq, (5) ayrılışını əvvəlcədən -ə vurub, sonra hədbəhəd inteqrallasaq, sinus-a uyğun əmsalları taparıq:

(12)
(6) və (8)-dən əlavə asanlıqla aşağıdakı münasibətə əsaslanmaq olar:
burada (13)



(14)


(7), (11) və (12) düsturları Eyler-Furye düsturları , bu düsturla tapılan əmsallar bu funksiyanın Furye əmsalları, onların köməyi ilə qurulan (5) triqonometrik sıraları Furye sıraları adlanır.

Aparılan mühakimələrdən hansı nəticələr əldə edildiyini araşdıraq.Biz gördük ki, (5) triqonometrik ayrılışının mümkünlüyünü qəbul etsək, onun həqiqiliyi haqqında sual açıq qalır.

Eyler və Furye misalının köməyi ilə (5) ayrılışındakı əmsalların tapılması fikri düzgün həyata keçirilirmi? Biz burada təkrar olaraq sıranı hissə-hissə inteqralladıq, bu isə həmişə mümkün olmaya bilər.Bunun tətbiq olunması üçün sıranın müntəzəm yığılması əsas şərtdir.Ona görə də aşagıdakı mühakimə doğrudur:

Əgər 2π periodlu funksiyası yığılan (5) triqonometrik sıralarına ayrılırsa, sonuncu Furye sıralarına ayrılması zəruri olacaq.

Əgər müntəzəm yığılmanı əvvəlcədən qəbul etsək, onda funksiyanın yalnız Furye sıralarına ayrılması fikri sübut olunmayacaq. Bu mülahizənin hansı mənası var?Bu mülahizə belə bir fikrə gətirib çıxarır ki, verilmiş funksiyanın triqonometrik ayrılışını tapmaq üçün Furye sıralarından başlamaq lazımdır,bu işi elə qurmaq tələb olunur ki, müəyyən şərtlə məhz verilən funksiyaya yığılsın.Hələ ki, bu iş görülmədiyindən , verilmiş funksiyasının Furye sıralarına formal baxmaq olar.Lakin biz onu təsdiq edə bilmərik, bundan başqa o funksiyasından “törənib“.

Bu əlaqəni belə vermək olar:
~ (5a)

Funksiyanın ortoqonal sistemləri

Keçən mövzuda -nin qoyulması mühakiməmizin nümunəsi idi, belə ki, ondan riyazi analizdə müxtəlif ayrılışların öyrənilməsində tez-tez istifadə olunur.

Əgər aralığında təyin olunmuş funksiyalarının hasilinin inteqralı varsa və sıfra bərabərdirsə, onda funksiyaları həmin aralıqda ortoqonaldır:


parçasında təyin olunmuş, həmin aralıqda öz kvadratları iləbirlikdə inteqrallanan

Funksiyalar sisteminə baxaq.onda biz bildiyimizə görə cüt-cüt götürülmüş bu funksiyaların hasili də inteqrallanandır. Əgər verilmiş sistemin funksiyaları cüt-cüt ortoqonaldırsa,


(15)
onu funksiyanın ortoqonal sistemləri adlandırırlar.Burada hesab edəcəyik ki,
>0 . (16)
Belə ki, sistemin tərkibində eyniliklə sıfra bərabər olan funksiya yoxdur.

(n=0,1,2,...) şərti gözlənilərsə, belə sistemə normal sistemlər deyilir. Əgər bu şərtlər ödənilməzsə, lazım gəldikdə əvvəlcədən normal hesab ediləcək sisteminə keçmək olar.

Misallara müraciət edək.



  1. Funksiyaların ortoqonal sistemlərinə misal, aralığında

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,...,cosnx, sinnx,... (17)


triqonometrik sistemləri göstərmək olar.Bu sistemin ortoqonallığı (6),(8),(9) və (13) münasibətlərindən alınır.Lakin (10) və (14)-ə uyğun normal olmayacaq. (17) triqonometrik funksiyasını uyğun vuruğa(множитель) vursaq, aşağıdakı normal sistemi alarıq:



  1. Qeyd edək ki, (17) və sistemləri intervalında ortoqonal olmayacaq.Belə ki,


, burada n,m müxtəlif misilli ədədlərdir.

Əksinə sistemin hər bir hissəsi ya təkcə kosinuslardan


(18)

ya da təkcə sinuslardan


(19)

ibarətdir, ayrılıqda bu aralıqda ortoqonallığı asan yoxlamaq olar.




  1. Əhəmiyyətli dərəcədə ayrılan sistemlərə baxaq:





Bunlardan hər biri aralığında ortoqonaldır.


  1. Triqonometrik funksiyalardan ibarət daha çətin qrtoqonal sistemlərə misal olaraq transendent tənliyi göstərmək olar:

(c=const). (20)

İsbat etmək olar ki, onun sonsuz müsbət kökləri vardır:




Qrafiki olaraq tənliyin kökləri absisi olan tangensoidlə düz xəttinin kəsişməsindən alınan nöqtələr olur.(şəkil2)

Sistemi quraq:



Asanlıqla hesablamaq olar ki,(burada )



Burada , (n≠m) olarsa, (20)-dən istifadə etsək, aşağıdakını alarıq:


(n≠m) .
Bununla göstərilən sistemin aralığında ortoqonallığı quruldu.

Əgər (c=const) tənliyinin müsbət köklər ardıcıllığıdırsa, onda anoloji nəticəni təqribən aşağıdakı sistemə də aid etmək olar:




Ancaq nə bu , nə də digər sistem normal olmayacaq.


  1. Ortoqonal sistemlərə əsas misallardan biri aralığında Lejandra çoxhədlisidir:



Belə ki,

Onda normal sistemin alınması üçün bu polinomları uyğun olaraq vurmaq lazımdır
6) Nəhayət, təyinatcız(бесселевый) funksiyalarla əlaqədar misala baxaq. Sadəlik üçün

Funksiyasını götürməklə kifayətlənək, lakin deyilənlər n>0 olduqda funksiyası üçün də doğru olacaq.

Təyinatsız funksiyalar nəzəriyyəsində funksiyası elə qurulur ki, o coxlu müsbət köklərdən ibarət olur.


Tənliyi köçürüb , funksiyasının bu şərti ödədiyini qəbul etsək,

α və β ədədləri necə olursa olsun, asanlıqla aşağıdakıları alarıq:





Birinci bərabərliyi -ə, ikinci bərabərliyi isə -ə vurub, hədbəhəd birini digərindən çıxsaq, aşağıdakı bərabərliyi alarıq:


Buradan alınır ki, əgər α≠β olarsa,


(21)
Əgər α= , olarsa, aşağıdakı münasibətə gələrik:

.

Bu isə onu göstərir ki, aralığında funksiyalar sistemi ortoqonaldır və bu sistem normal olmayacaq.

Tutaq ki, parçasında hər hansı ortoqonal sistemi verilmişdir.

parçasında təyin olunmuş funksiyasını -dən ibarət sıralara ayrılışını qarşımıza məqsəd qoyaq:


(22)
Bu ayrılışdakı əmsalları tapmaq üçün onun mümkünlüyünü qəbul edərək yuxarıdakı xüsusi halı tətbiq edə bilərik.Ayrılışın hər iki tərəfini -ə vurub, hissə-hissə inteqrallasaq alarıq:

Ortoqonallığa əsasən( (15) və (16) ) birindən başqa sağdakı inteqralların hamısı sıfır olacaq və aşağıdakı bərabərlik asanlıqla alınacaq:


(23)

[(7),(11),(12) düsturları yuxarıdakı düsturların xüsusi halıdır. ]

(23) düsturu vasitəsilə düzəlmiş əmsallı (22) sırası verilmiş funksiyanın (ümumiləşdirilmiş)

Furye sıraları adlanır, əmsallar isə sisteminə uyğun Furye əmsalları adlanır.

Normal sistemlərdə (23) düsturu sadə görünür:



(23*)


funksiyası üçün qurulmuş ümumiləşdirilmiş Furye sıraları onunla formal əlaqədardır.

Ümumi halda bu əlaqə aşağıdakı kimi işarə olunur:



~ (22*)

Bu sıranın funksiyasına yığılması , triqonometrik sırada olduğu kimi araşdırmaya ehtiyacı var.






Bakı Dövlət Universiteti, tətbiqi – riyaziyyat və kibernetika fakültəsi


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə